REGRESI

REGRESI
• Curve Fitting
• Regresi Linier
• Regresi Eksponensial
• Regresi Polynomial
Regresi
1
Curve Fitting: Kasus 1
Diberikan data berupa kumpulan titik-titik diskrit.
Diperlukan estimasi / perkiraan untuk
mendapatkan nilai dari titik-titik yang berada
di antara titik-titik diskrit tersebut
f(x0)
f(x0)
x0
x0
Regresi
2
Curve Fitting: Kasus 2
Dari kumpulan titik yang membentuk data, dapat
dibuat sebuah persamaan fungsi sederhana.
Regresi
3
Curve Fitting: Regresi
Jika data menunjukkan sebuah derajat kesalahan
atau noise, dapat dibuat kurva tunggal untuk
merepresentasikan trend data tersebut.
Regresi
4
Curve Fitting: Interpolasi
Jika data yang disediakan sudah sangat presisi,
pendekatan yang dilakukan adalah dengan
membuat kurva atau urutan kurva yang sesuai
yang melalui masing-masing titik.
Regresi
5
Regresi Linier
Regresi Linier digunakan untuk menentukan fungsi linier
yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn)
yang diketahui.
Sebaran data dengan kurva linier
Regresi
6
Untuk mendapatkan fungsi linier y=mx+c,
dicari nilai m dan c
⎛ N ⎞⎛ N
⎞
N ∑ xn yn − ⎜ ∑ xn ⎟⎜ ∑ yn ⎟
⎝ n =1 ⎠⎝ n =1 ⎠
m = n =1
2
N
N
⎛
⎞
2
N ∑ xn − ⎜ ∑ xn ⎟
n =1
⎝ n =1 ⎠
N
N
N
c=
∑y
n =1
N
n
−m
∑x
n =1
n
N
Regresi
= y − mx
7
Contoh Penyelesaian Regresi Linier
Carilah persamaan kurva linier jika diketahui data untuk
x dan y sebagai berikut:
xn
1
2
3
4
5
6
7
yn
0.5
2.5
2.0
4.0
3.5
6.0
5.5
N=7
∑x y
= 119.5
2
x
=
140
y
=
24
.
0
x
=
28
∑
n
∑
n
∑ n
28
x=
=4
7
m=
n
n
24
y=
= 3.428571
7
7 x119.5 − 28 x 24
= 0.8392857
2
7 x140 − 28
c = y − mx = 3.428571 − 0.8392857 x 4
= 0.0714282
Sehingga persamaan kurva linier :
y = 0.8392857
x + 0.0714282
Regresi
8
Tabel data hasil regresi
kurva
y = 0.8392857 x + 0.0714282
Regresi
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
x
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
y
0.910714
1.33036
1.75
2.16964
2.58929
3.00893
3.42857
3.84821
4.26786
4.6875
5.10714
5.52679
5.94643
6.36607
6.78571
7.20536
7.625
8.04464
8.46429
9
Algoritma Regresi Linier
1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk
i = 1,2,3,..,N
2. Hitung nilai m dan c dengan menggunakan formulasi
dari regresi linier
3. Tampilkan fungsi linier
4. Hitung fungsi linier tersebut dalam range x dan step dx
tertentu
5. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi linier
tersebut
Regresi
10
Regresi Eksponensial
Regresi Eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi
eksponensial yang paling sesuai dengan kumpulan
titik data (xn,yn) yang diketahui.
Regresi Eksponensial
merupakan pengembangan dari
regresi linier dengan
memanfaatkan fungsi logaritmik
y = e ax +b
Untuk fungsi
dapat di logaritma-kan menjadi
atau
(
ln y = ln e ax +b
)
ln y = ax + b
jika z = ax + b maka: z = ln y
Regresi
11
Contoh Penyelesaian Regresi Eksponensial
Carilah persamaan kurva eksponensial jika diketahui data
untuk x dan y sebagai berikut:
xi
1
2
3
4
5
yi
0.5
1.7
3.4
5.7
8.4
zi = ln y
-0.6931
0.5306
1.2238
1.7405
2.1282
Cari nilai a dan b seperti mencari
nilai m dan c pada regresi linier
∑x
n
= 15
∑z
n
= 4.93
∑ xn zn = 21.6425
N=5
2
x
∑ n = 55
Sehingga persamaan kurva
eksponensial menjadi:
5 x 21.6425 − 15 x 4.93
a=
= 0.685
2
5 x55 − (15)
y=e
4.93
15
b=
− 0.685 x = −1.069
5
5
Regresi
0.685 x −1.069
12
Tabel data hasil regresi
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Kurva eksponensial
y=e
x
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
y
0.6811
0.9593
1.3512
1.9031
2.6805
3.7754
5.3175
7.4895
10.5487
14.8574
0.685 x −1.069
Regresi
13
Algoritma Regresi Eksponensial
1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk
i = 1,2,3,..,N
2. Ubah nilai y menjadi z dengan z = ln y
3. Hitung nilai a dan b dengan menggunakan formulasi dari
regresi linier (seperti mencari m dan c)
ax + b
4. Tampilkan fungsi eksponensial y = e
5. Hitung fungsi eksponensial tersebut dalam range x dan
step dx tertentu
6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi eksponensial
tersebut
Regresi
14
Regresi Polynomial
Regresi Polynomial digunakan untuk menentukan fungsi
polinomial yang paling sesuai dengan kumpulan
titik data (xn,yn) yang diketahui.
Fungsi Pendekatan :
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + .. + an x n
Untuk persamaan polinomial orde 2
didapatkan hubungan :
n
n
n
⎧
2
xi )a1 + ( ∑ xi )a 2 = ∑ yi
⎪na0 + (i∑
i =1
i =1
=1
⎪
n
n
n
⎪ n
2
3
⎨( ∑ xi )a0 + ( ∑ xi )a1 + ( ∑ xi )a 2 = ∑ ( xi yi )
i =1
i =1
i =1
⎪ i =1
n
n
n
⎪ n 2
3
4
2
+
+
=
(
x
)
a
(
x
)
a
(
x
)
a
(
x
yi )
∑
∑
∑
∑
i
0
i
1
i
2
i
⎪
i =1
i =1
i =1 15
⎩ i =1
Regresi
Contoh Penyelesaian Regresi Polinomial
Carilah persamaan kurva polinomial jika diketahui data
untuk x dan y sebagai berikut:
xi
0
1
2
3
4
5
yi
2.1
7.7
13.6
27.2
40.9
61.1
2
x
∑ xi yi = 585.6 ∑ i yi = 2488.8
n=6
∑ xi = 15 ∑ yi = 152.6 x = 2.5 y = 25.433
4
x
∑ x = 55 ∑ x = 225 ∑ i = 979
2
i
3
i
⎡6 15 55 ⎤ ⎧a0 ⎫ ⎧152.6 ⎫
⎢15 55 225 ⎥ ⎪a ⎪ = ⎪585.6 ⎪
⎬
⎢
⎥⎨ 1 ⎬ ⎨
⎢⎣55 225 979⎥⎦ ⎪⎩a 2 ⎪⎭ ⎪⎩2488.8⎪⎭
⎧a0 ⎫ ⎧2.47857 ⎫
sehingga
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎨a1 ⎬ = ⎨2.35929 ⎬
2
y=2.47857+2.35929x+1.86071x
⎪a ⎪ ⎪1.86071 ⎪
Regresi
⎭
⎩ 2⎭ ⎩
16
Tabel data hasil regresi
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Kurva polinomial
x
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
y
6.69857
10.2041
14.64
20.0062
26.3028
33.5298
41.6871
50.7748
60.7928
71.7411
y=2.47857+2.35929x+1.86071x2
Regresi
17
Algoritma Regresi Polinomial
1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk
i = 1,2,3,..,N
2. Hitung nilai-nilai yang berhubungan dengan jumlahan
data untuk mengisi matrik normal
3. Hitung nilai koefisien a0, a1,a2 dengan menggunakan
eliminasi Gauss/Gauss-Jordan
2
n
4. Tampilkan fungsi polinomial y = a0 + a1 x + a2 x + .. + an x
5. Hitung fungsi polinomial tersebut dalam range x dan step
dx tertentu
6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi polinomial
tersebut
Regresi
18