Akar dari persamaan

BAB V
Aplikasi Kurva Kuadratik dalam
Ekonomi dan Bisnis :
1. Kurva permintaan dan penawaran
(demand and supply curve)
2. Keseimbangan pasar (market
equilibrium)
3. Kurva transformasi produk (product
transformation curves)
4. Hukum Pareto (Pareto’s Law)
mengenai distribusi pendapatan (income
distribution)
Kurva Permintaan dan Penawaran,
serta Keseimbangan Pasar
Kurva fungsi permintaan parabolik :
Kurva fungsi penawaran
parabolik :
Keseimbangan Pasar :
Keseimbangan pasar dikatakan terjadi pada
titik harga dimana jumlah barang yang
diminta tepat sama dengan jumlah barang
yang ditawarkan. Yang diwakili oleh
koordinat titik-titik potong dari kurva
permintaan dan penawaran.
Soal Latihan :
1. Cari keseimbangan harga dan jumlah
barang untuk persamaan permintaan dan
penawaran berikut, dimana x dan y
masing-masing mewakili jumlah barang
dan harga.
2x + y – 10 = 0
y2 – 8x – 4 = 0
Soal Latihan :
2. Cari keseimbangan harga dan jumlah
barang untuk persamaan permintaan dan
penawaran berikut, dimana x dan y
masing-masing mewakili jumlah barang
dan harga.
x2 + 5x – y + 1 = 0
 2x2+ y – 9 = 0
Kurva Transformasi Produk
 Beberapa proses produksi dapat menghasilakn
lebih dari satu output yaitu wool dan daging yang
diproduksi dalam proporsi yang berbeda-beda
dengan menggunakan proses produksi tunggal.
 Kurva transformasi produk mengekspresikan
hubungan antara jumlah dari dua komoditi (joint
product) diproduksi oleh perusahaan yang sama
dengan tenaga kerja dan bahan mentah yang
sama.
Soal Latihan :
1. Suatu perusahaan memproduksi sejumlah x
dan y unit dari dua jenis besi berbeda mutu
dengan menggunakan proses produksi yang
sama. Kurva transformasi produk, untuk input
yang dipergunakan mengikuti fungsi :
 y2 + x + 4y – 20 = 0
 (a) Berapa jumlah terbesar x dan y yang dapat
diproduksi?
 (b) Berapa x dan y harus diproduksi agar nilai x =
4y?
Soal Latihan :
2. Suatu perusahaan memproduksi sejumlah x
dan y unit dari dua jenis besi berbeda mutu
dengan menggunakan proses produksi yang
sama. Kurva transformasi produk, untuk input
yang dipergunakan mengikuti fungsi :
 5x2 + 2y2 = 98
 (a) Berapa jumlah terbesar x dan y yang dapat
diproduksi?
 (b) Berapa x dan y harus diproduksi agar nilai x =
0,75y?
Distribusi Pendapatan Menurut
Hukum Pareto :
Ahli ekonomi bernama Vilfredo Pareto
mengusulkan hukum distribusi pendapatan
yang bunyinya sbb:
Banyaknya individual N dari suatu
populasi (penduduk) sebanyak a yang
pendapatannya melebihi x adalah :
a
N b
x
Hukum Pareto :
Keterangan :
b : parameter populasi, pada umumnya
nilainya sekitar 1,5
a : populasi total
x : batas pendapatan tertentu
N : bagian populasi yang berpendapatan
melebihi x
Soal Latihan :
HukumPareto untuk distribusi pendapatan
bagi sekelompok penduduk tertentu
216 (10)10
N
x3 / 2
(a) Berapa byk penduduk yg jutawan?
(b) Berapa byk penduduk dgn pendapatan
antara 3600 sampai dgn 10.000 smu
(c)Berapa pendapatan terendah dari 80 org
yg berpendapatan tertinggi?
Eksponensial dan Logaritma
y b
x
x  log y
b
Kaidah Logaritma :
 X logx = 1
 X log 1 = 0
 X log xa = a
 X logma = a.xlog m
 X.xlogm = m
 Xlog(m.n) = xlogm + xlogn
 Xlog(m/n)=xlogm-xlogn
 Xlogm.mlogx = 1
 Xlogm.mlogn.nlogx = 1
Fungsi Eksponensial :
Fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu
konstanta berpangkat variabel bebas.
1. Bentuk paling sederhana :
y = nx , n > 0
2. Bentuk lebih umum :
y = nekx + c, n ≠ 0; k dan c konstanta
Fungsi Logaritmik :
Fungsi logaritmik ialah kebalikan dari
fungsi eksponensial, variabel bebasnya
merupakan bilangan logaritma.
Bentuk sederhananya :
y = nlog x, n > 0 dan n ≠ 1
Bentuk lebih umum :
y = a ln(1 + x) + b, x > -1
Catatan : ln ialah logaritma natural,
bilangan pokoknya e = 2,71828…
Aplikasi Kurva Eksponensial dan
Logaritma dalam Bisnis dan Ekonomi
1. Bunga Majemuk atau Bersusun
2. Fungsi Pertumbuhan meliputi :
• a. Kurva Pertumbuhan Biologis
• b. Fungsi Gompertz
• c. Fungsi Pengetahuan (Learning Function)
Bunga Majemuk
i 

y  x 1 

k


n k
y = Jumlah uang setelah ditambah bunga
x = Uang Pokok
i = Tingkat Bunga
k = Banyak Pembayaran Selama 1 Tahun
n = Jumlah Tahun
Kurva Pertumbuhan Biologis
N  No R
t
N = banyaknya individu atau elemen dalam
populasi pada waktu t (jumlah penduduk,
jumlah perusahaan)
No = banyaknya individu dalam populasi pada
permulaan, waktu nol (= 0).
R = rata-rata tingkat pertumbuhan, R > 0.
Persamaan ini didasarkan pada model suatu
populasi, setiap anggotanya memproduksi
sebanyak (R – 1) tambahan anggota dalam
setiap unit waktu dan tak ada anggotanya yang
meninggal/mati.
Fungsi Gompertz
N  caR
t
N = banyaknya individu dalam populasi pada
waktu t
R = rata-rata tingkat pertumbuhan 0 < R < 1
a = proporsi pertumbuhan awal
c = pertumbuhan pada tingkat kematangan
Fungsi Pengetahuan
Dinamakan fungsi pengetahuan karena
memang semula diterapkan untuk
mengamati hal-hal yang berhubungan
dengan kegiatan belajar.
Dalam ekonomi, fungsi pengetahuan cocok
untuk menggambarkan perilaku produksi
dan biaya dalam hubungannya dengan
variabel waktu.
Notasi Fungsi Pengetahuan dalam
Ekonomi diubah menjadi :
P  Pm  Ps .e
rt
 P : produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu
 Pm : kapasitas produksi maksimum per satuan waktu
 Ps : sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan
produksi (pada t = 0)
 r : tingkat pertumbuhan produksi
 t : waktu