TI213-052098-978-3 1297KB Oct 06 2011 10

AKAR PERSAMAAN
Metode Pengurung
Akar–akar Persamaan
Untuk menentukan akar–akar persamaan polinomial
berderajat dua dengan bentuk
ax  bx  c  0
2
digunakan rumus:
 b  b  4ac

2a
2
x1.2
Untuk polinomial berderajat tiga, empat
atau yang lebih tinggi belum ada rumus
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
bentuk persamaan polinomial tersebut.
Metode numerik memberikan cara-cara untuk
menyelesaikan bentuk persamaan tersebut
secara perkiraan sampai diperoleh hasil
yang mendekati penyelesaian eksak.
Penyelesaian numerik dilakukan dengan
perkiraan yang berurutan (iterasi),
sedemikian sehingga setiap hasil adalah
lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.
Dengan melakukan sejumlah prosedur
iterasi yang dianggap cukup, akan
didapat hasil perkiraan yang mendekati
hasil eksak (hasil yang benar) dengan
toleransi kesalahan yang diijinkan.
Metode Grafis
Metode ini merupakan cara paling mudah, dengan
menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian
dicari titik potongnya dengan sumbu x yang
menunjukkan akar dari persamaan tersebut,
tetapi cara ini hanya memberikan hasil yang
sangat kasar, karena sulit untuk menetapkan
nilai sampai berapa digit dibelakang koma
hanya dengan membaca gambar.
y
f (x )
x
akar persamaan
METODE PENCARIAN AKAR
Metode
Metode
Tertutup
Terbuka
Metode
Metode
Bagi Dua
Posisi Palsu
Metode
Fix-Point
Iteration
Metode
Metode
NewtonRaphson
Secant
7
METODE BAGI DUA
Langkah–langkah metode bagi dua :
1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x
sampai pada perubahan tanda dari fungsi (fxn)
dan (fxn+1)yaitu,apabila :
f ( xn )  f ( xn 1 )  0
2.
Estimasi pertama dari akar dihitung dengan :
xn  xn 1
xt 
2
3.Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam
sub interval mana akar persamaan berada:
a. Jika
f ( xn )  f ( xn 1 )  0 ,akar persamaan
berada pada sub interval pertama,kemudian
tetapkan xn 1  xt dan lanjutkan pada langkah
4.
b. Jika f ( xn )  f ( xn 1 )  0 , akar
persamaan
berada pada sub interval kedua,kemudian
tetapkan n
dan lanjutkan pada langkah
t
4.
f ( xn )  f ( xn 1 )  0 ,akar persamaan
c. Jika
adalah x
dan hitungan selesai.
x x
t
4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan :
xn  xn 1
xt 
2
5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai
dengan batasan yang ditentukan), maka
hitunganselesai, dan
adalah akar
t
persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan
kembali ke langkah 3.
x
METODE POSISI PALSU
Dengan menggunakan metode ini nilai akar dari suatu
fungsi dapat lebih cepat diperoleh dari pada
dengan menggunakan metode bagi dua.
Langkah pertama dimulai dengan mencari nilai
fungsi untuk setiap interval x yang sama sampai
akhirnya didapat dua nilai fungsi f ( xn )
dan
berurutan yang mempunyai
n 1
tanda berlawanan. Dari kedua nilai fungsi f ( xn )
dan
ditarik garis lurus sehingga
n 1
terbentuk suatu segitiga.
f (x )
f (x )
Metode posisi palsu diberikan pada persamaan berikut :
xn 1  x 
f ( xn 1 )

xn 1  xn
f ( xn 1 )  f ( xn )
f ( xn 1 )
x  xn 1 
( xn 1  xn )
f ( xn 1 )  f ( xn )
nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai
f ( x ) , yang kemudian digunakan lagi untuk
interpolasi linier dengan nilai f ( xn ) atau f ( xn 1 )
sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda yang
berbeda. Prosedur ini diulang sampai didapat nilai
f ( x ) mendekati nol.
METODE NEWTON-RAPHSON
Dalam metode ini, perkiraan awal
dari akar adalah xi ,suatu garis
singgung dapat dibuat dari titik
( xi , f ( xi )) Titik di mana garis
x
singgung tersebut memotong
sumbu
biasanya memberikan perkiraan yang
lebih dekat dari nilai akar.
f ( xi )  0
f ' ( xi ) 
xi  xi 1
atau
xi 1
f ( xi )
 xi 
f ' ( xi )
METODE SECANT
Kekurangan metode Newton-Raphson adalah
diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari
dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk
mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan.
Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan
nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda
hingga.
x
x
Garis singgung dititik
oleh bentuk berikut :
didekati
f ( xi )  f ( xi 1 )
f ' ( xi ) 
xi  xi 1
atau
xi 1
f ( xi )( xi  xi 1 )
 xi 
f ( xi )  f ( xi 1 )
dalam metode ini pendekatan memerlukan
dua nilai awal dari x
.
i