Diferensial Fungsi 2 Variabel

Diferensial Fungsi 2 Variabel
f ( x, y )  0 , secara eksplisit
x  x( y ) , y variabel bebas dan x variabel tak bebas
y  y (x) , x variabel bebas dan y variabel tak bebas
Contoh : x 2  ay  0
y  x2
Diferensial dy (atau dx)
 df 
y  f (x) , maka : dy   dx , dx =perubahan infinite pada x, dy=perubahan infinite
 dx 
dy
 2 x, dy  2 x dx
pada y. Contoh : y  x 2 ,
dx
Fungsi 2 variabel :
Perhatikan fungsi f ( x, y, z )  0 , Bentuk eksplisitnya adalah:
x  x( y, z ) ,,y dan z variabel bebas
y  y ( z, x) , x dan z vaiabel bebas
z  z ( x, y ) , x dan y variabel bebas
Contoh : x 2  y  z  0
Perhatikan fungsi z  z ( x, y ) , kita misalkan bahawa fungsi ini memang ada, maka nilai z
sdapat berubah karena:
x berubah tetapi y tidak; y berubah tetapi x ridak; x dan y keduanya berubah, maka :
dz=(perubahan z karena x brubah) + Perubahan z karena y berubah. Secara maytematika
dinyatakan oleh:
 z 
 z 
dz    dx    dy
 x  y
 y  x
 z 
  dinamakan diferensial parsial z ke x  M ( x, y )
 x  y
 z 
  dinamakan diferensial parsial z ke y  N ( x, y )
 y  x
karena dz merupakan perubahan infinit suatu fungsi yang memang ada, maka dz disebut
difefensial eksak
Syarat diferensail eksak
Diferensial total suatu fungsi yang nyata ada yang memnuhi sayarat euler dinakan
diferensial eksak. Aadapun sayarat euler adalah:
 M   N 

  
 hubungan ini dikenal sebagai syarat Euler.
 y  x  x  y
Integrasi Diefrensial 2 Bvariabel
A. Diferensial eksak
Integrasi tak tentu :  dz   dz ( x, y )  z ( xy)  C
2
2
1
1
Integral terbatas :  d z ( x, y )  z ( x. y )  z2  z1
Secara grafis, interpretasi integrasi dz antara 2 batas, tidak bergantung pada jalan
integrasi, tetapi hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir jalan itu. Tidak
dipersoalkan melalui jalan mana titik akhir dicapai dari titik awal.
B. Diferensial tak eksak
Hasil integrasi antara 2 batas suatu diferensial tak eksak tidak dapat diartikan sebagai
selisih antara dua nilai funsi, karena memang fungsinya tidak ada.
2
 dA  A
2
 A1  A, melainkan = A12
1
Nilai A12 ini ternyata sangat bergantung pada jalan intergrasi, bagaimana titik akhir 2
dicapai dari titik awal 1. Untuk setiap jalan yang berbeda, berbeda pula hasilnya.]
Contoh : Integrasikan dz  2 xy dx  x 2dy dan dA  xy(dx  2dy ) antara titik O (0,0)
dan B (2,4) melalui jalan yang berbeda, OB, OAB, dan OCB (lihat gambar) .
y
A
B(2,4)
O(0,0)
x
C
Hubungan Penting antara diferenasil aprsial :
Jika f(x,y,z)=0, maka :
1
 z 
  
x
 x  y
z y
 
 x   y   z 
       1
 y  z  z  x  x  y