INTEGRAL D alam kalkulus dikenal dua macam pengertian integral

8
INTEGRAL
D
alam kalkulus dikenal dua macam pengertian integral, yaitu integral taktentu
(indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral taktentu
adalah kebalikan dari diferensial, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan
proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui.
Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses
pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.
8.1.
Integral Tak Tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau
turunan antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
Dimana c adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan
diatas, tanda  adalah tanda integral; f(x)dx adalah diferensial dari F(x); f(x)
sendirian disebut integran; dx sendirian disebut diferensial ; F(x) adalah integral
69
Integral
partikular ; c adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + c merupakan fungsi asli
atau fungsi asal. Proses mengintegralkan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan, bahwa jika misalnya suatu fungsi asal
dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka :
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya : f(x) =
dF ( x)
 2x
dx
Jika proses dibalik, yaitu fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka :
 f ( x)dx  F ( x)  c  x
2
c
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap
fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Artinya nilai kontanta tersebut tidak
dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5 seperti dalam
contoh), kecuali jika didalam soal memang sudah ditentukan nilai konstantanya.
Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan
kebalikan dari diferensial dinamakan integral tertentu.
8.2.
Kaidah-kaidah Integrasi Taktentu
a.
 dx  x  c
b.
 a dx  ax  c
Contoh 8.1. :  2 dx  2 x  c
c.
 {( f ( x)  g ( x)} dx   f ( x) dx   g ( x)dx
Contoh 8.2. :  ( x 3  3x 2 ) dx   x 4 dx   3x 2 dx  0,2 x 5  x 3  c
d.
x
Matematika Bisnis
n
dx 
1 n 1
x  c , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
n 1
70
Contoh 8.3. :
4
 x dx 
1 41
x5
x c
c
4 1
5
3 51
x6
Contoh 8.4. :  3x dx 
x c
c
5 1
6
5
8.3.
Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya
(memiliki batas-batas) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas
area yang terletak diantara kurva y = f(x) dan sumbu horisontal – x , dalam suatu
rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x = b.
Bentuk umum integral tertentu adalah :
b
b
a
a
 f ( x)dx  F ( x)
 F (b)  F (a )
b
Notasi
 f ( x)dx
dibaca integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b. Karena a <
a
b maka a dinamakan batas bawah integrasi dan b disebut batas atas integrasi.
8.4.
Kaidah-kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a < c < b, berlaku :
a.
b
b
a
a
 f ( x)dx  F ( x)
 F (b)  F (a )
Contoh 8.5.
6
 x3 
1 3
x
dx

   x
3
 3 3 3
6
2
 
6
3
1
 (216  27)  63
3
a
b.
 f ( x)dx  0
a
71
Integral
Contoh 8.6.
3
 x3 
1 3
3 x dx   3   3 x
3
3
 
2
b
c.

3
3
1
 (27  27)  0
3
a
f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
Contoh 8.7.
3
 x3 
1 3
x
dx


x
dx


   x
3
6
3
 3 6
6
3
2
d.
 
2
b
b
a
a
3
6
1
  (27  216)  63
3
 k. f ( x)dx  k  f ( x)dx
Contoh 8.7.
6
 x3 
1 3
6
x
dx

6
x
dx

6
   6. x
3
3
3
 3 3
6
6
2
e.
 
2
b
b
b
a
a
a
6
3
 2(216  27)  126
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx  g ( x)dx
Contoh 8.7.
2
 (3x
1
2
2
2
 2 x)dx   3 x dx   2 xdx
2
1
1
   x 
 x
3 2
1
2 2
1
 (2 3  13 )  (2 2  12 )
 73 4
Matematika Bisnis
72
c
f.

b
b
c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
Contoh 8.8.
4
6
 
 
 x3 
 x3 
x
dx

x
dx


 
 
3
4
 3 3  3 4
4
6
1
1
 x3 3  x3 4
3
3
1
1
 (64  27)  (216  64)
3
3
 63
4
6
2
8.5.
2
Soal –Soal Latihan
I. Selesaikanlah soal-soal di bawah ini !
1.
 xdx
2.
 mxdx
3.
  5 x dx
4.
 (x
5.
 (x
6.
 (x
7.
x 3  3x 2  5
dx

x
8.
 (x
2
2
5
 3 x  4)dx
x - 5) 2 dx
2
2
3
 x  4 x )dx
5
 3x  4) 3 (2 x  3)dx
x 3  3x 2  5
dx
9. 
( x 2  2 x)
10.  (2 x 3  3x 2  4) 3 ( x 2  x)dx
73
Integral
II. Selesaikanlah soal-soal di bawah ini !
2
1.
 4xdx
1
3
2.

1
2 3
x dx
3
2
3.
 4x  2x
2
dx
1
6
4.
 (3x
2
 2 x)dx
4
2
5.
 (x
2
 2 x  3)dx
0
1
6.
 (2 x  5)dx
1
4
7.
 (2 x  1)(3  x)dx
1
1
8.
 (x
3
 9 x)dx
1
4
9.
(
x  x) 2 dx
1
8
10.  ( x 1 / 3  x 1 / 3 )dx
1
Matematika Bisnis
74