Title Goes Here - Binus Repository

Matakuliah : J0174/Matematika I
Tahun
: 2008
Differensial Fungsi Sederhana
Pertemuan 15
Differensial (1)
• Differensial merupakan bagian dari Kalkulus. Kalkulus adalah analisis
matematika mengenai perubahan. Kalkulus terdiri dari diferensial dan
integral. Perubahan yang dimaksud dalam kalkulus dapat berupa
perubahan nyata dalam alam atau pun perubahan yang hanya dipikirkan
untuk keperluan perhitungan. Pada hitung diferensial dicari laju perubahan
sebuah fungsi dan pada integral dicari fungsi yang laju perubahannya
diketahui.
• Analisis dalam ekonomi adalah analisis mengenai perubahan dan analisis
marginal adalah analisis mengenai laju perubahan marginal yaitu laju
perubahan sesaat yang tak lain adalah turunan pertama dari fungsi -fungsi
yang bersangkutan, misalnya fungsi permintaan, fungsi penawaran , fungsi
biaya, penerimaan dan sebagainya.
Bina Nusantara
Differensial (2)
• Selain untuk menghitung laju perubahan hitung diferensial
dapat dipakai untuk menghitung maksimum dan minimum dari
sebuah fungsi. Dalam ekonomi hitung diferensial dapat dipakai
untuk menghitung bagaimana meminimalkan ongkos ataupun
memaksimalkan propduksi, laba atau utilitas. Hitung diferensial
juga dipergunakan dalam programasi matematika. Hitung
diferensial dalam programasi matematika adalah mengitung
nilai optimum sebuah fungsi di bawah kendala yang membatsi
pencapaian nilai optimum.
Bina Nusantara
Turunan pertama sebuah fungsi (1)
•
Turunan pertama suatu fungsi pada suatu titik adalah angka arah (slope) garis
singgung melalui titik tersebut pada grafik fungsi tersebut.
Slope garis PQ adalah m = y2- y1/ x2- x1
Bina Nusantara
Turunan pertama sebuah fungsi (1)
• Apabila Q(x2 , y2) mendekati P(x1 , y1),
• Maka lim Dy/Dx = slope garis singgung f(x) di P(x1 , y1).
• Biasanya dalam pembahasan turunan suatu fungsi notasi (x , y) digunakan
bagi titik tetap (x1 , y1) dan (x+Dx , y+Dy) bagi titik yang berubah (x2 ,
y2).
• Oleh karena itu
dy/dx = Lim x-->0 Dy/Dx = Limx-->of(x+Dx) - f(x)/Dx merupakan turunan
pertama dari y = f(x). Limit ini untuk suatu harga tertentu dari x dapat ada
dapat pula tidak ada. Apabila limitnya ada f(x) dikatakan dapat diturunkan.
Bina Nusantara
Kaidah Diferensial (1)
dy
dx
1. Jika y = c , c = bilangan tetap maka
dy
=0
dx
Contoh : y = 5
2. Jika y=xn, maka
Contoh : y = x3,
3. Jika y = k.u
= n . X n-1
= 3x2
k = bilangan tetap, u = f(x) maka
Contoh : y = 5x2
Bina Nusantara
dy
dx
dy
dx
dy
=0
dx
dy
dx
= 5 . 2x = 10x
dy
dx
= k.
dy
dx
4. Y = u . v , dimana : u dan v = f(x) maka
contoh : y = 2x(4x2 +1) maka :
dy
=2
dx (4x2+1)
5. Y = u /v
dy
u dan v = f(x) maka
= (u’v – v’u)/ v2
dx
Contoh : Y = 2x/(x-1) maka :
dy
dx
Bina Nusantara
dy = u’ v + v’ u
dx
= (2 – 2x)/ (x-1)2
6. Y = un u = f(x) maka
dy/dx = nun-1
Contoh : y = (2x2 – 5)2 maka
dy/dx = 2(2x2 – 5)4x =8x(2x2 -5)
Bina Nusantara
7. Y = Ln x maka dy/dx = 1/x
8. Y = Ln u u = f(x)
maka dy/dx = (du/dx)/u
Contoh : Jika Y = Ln (4x + x2) maka
dy/dx = (4 + 2x)/ (4x + x2)
Bina Nusantara
Fungsi Eksponensial
9. Y = ax maka
dy/dx = (ax) Ln a
Contoh
10. Y = uv maka
dy/dx = (uv) (v’ ln u + v/u)
Contoh : Jika Y = x2x
dy/dx = (x2x) (2 ln x + 2)
Bina Nusantara
11. Y = ex maka
dy/dx = ex
12. Y = eu maka
dy/dx = (eu) u’
Contoh : y = e2x maka
dy/dx = (e2x) 2 = 2 (e2x)
Bina Nusantara