Medan Distribusi Muatan Volume 2

MEDAN DISTRIBUSI MUATAN VOLUME
Kerapatan muatan volume dengan lambing v adalah didefinisikan muatan diferensial dQ per
diferensial volume dv, yang dapat dibuat persamaan seperti berikut :
𝜌𝑣 =
𝑑𝑄
𝑑𝑣
Kerapatan muatan volume satuannya adalah Coulomb per meter kubuk (C/m3). Muatan total
dalam volume didapatkan dengan melakukan integral dari persamaan berikut :
𝑄 = ∫ 𝑑𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙
𝑣𝑜𝑙
d
E
P
R
𝒅𝑸 = 𝝆𝒗 𝒅𝒗
Dengan mengacu pada volume v seperti gambar diatas, setiap muatan diferensial dQ
membangkitkan medan listrik pada titik P sebagai berikut :
𝑑𝐸 =
𝑑𝑄
𝑎
4𝜋𝜀0|𝑅|2 𝑅
Medan listrik muatan total pada titik P diperoleh dengan mengintegralkan persamaan diatas
menjadi :
𝑑𝐸 =
𝑑𝑄
𝑎
4𝜋𝜀0|𝑅|2 𝑅
𝜌𝑣 𝑑𝑉
𝑑𝑣
2
𝑣𝑜𝑙 4𝜋𝜀0|𝑅|
𝐸=∫
Contoh :
Kerapatan muatan volume diketahui dalam kuadran pertama ( x, y, z ) dengan
𝜌𝑣 = 10𝑒 −2𝑧 (𝑥 2 + 2𝑦 2 )𝐶/𝑚3, dan 𝜌𝑣 = 0 ditempat lainnya. Tentukan muatan total dalam
daerah 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 m, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 m, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4
Penyelesaian :
Batas integral untuk sumbu x adalah 1 dan 2, untuk sumbu y adalah 0 dan 1, begitu juga
dengan sumbu z adalah 2 dan 4, sehingga muatan total daerah tersebut adalah
𝑄 = ∫ 𝑑𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙
𝑣𝑜𝑙
𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙
𝑧2 𝑦2 𝑥2
𝑄 = ∫ ∫ ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑧1 𝑦1 𝑥1
4 1 2
𝑄 = ∫ ∫ ∫ 10𝑒 −2𝑧 (𝑥 2 + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
2 0 1
4 1 2
𝑄 = 10 ∫ ∫ ∫ 𝑒 −2𝑧 (𝑥 2 + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
2 0 1
4 1
𝑄 = 10 ∫ ∫ 𝑒
2
−2𝑧
2 0
4 1
𝑄 = 10 ∫ ∫ 𝑒
2 0
−2𝑧
𝑥3
[ + 2𝑥𝑦 2 ] 𝑑𝑦𝑑𝑧
3
1
23
13
2
[( + 2.2. 𝑦 ) − ( + 2.1. 𝑦 2 )] 𝑑𝑦𝑑𝑧
3
3
4 1
8
1
𝑄 = 10 ∫ ∫ 𝑒 −2𝑧 [( + 4𝑦 2 ) − ( + 2𝑦 2 )] 𝑑𝑦𝑑𝑧
3
3
2 0
4 1
7
𝑄 = 10 ∫ ∫ 𝑒 −2𝑧 ( + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑦𝑑𝑧
3
2 0
4
𝑄 = 10 ∫ 𝑒
1
−2𝑧
2
7𝑦 2𝑦 3
[ +
] 𝑑𝑧
3
3 0
4
𝑄 = 10 ∫ 𝑒 −2𝑧 [(
2
7.1 2. 13
7.0 2. 03
+
)−(
+
)] 𝑑𝑧
3
3
3
3
4
7 2
𝑄 = 10 ∫ 𝑒 −2𝑧 ( + ) 𝑑𝑧
3 3
2
4
9
𝑄 = 10 ∫ 𝑒 −2𝑧 ( ) 𝑑𝑧
3
2
4
9
𝑄 = 10. ( ) ∫ 𝑒 −2𝑧 𝑑𝑧
3
2
4
𝑄 = 30 ∫ 𝑒 −2𝑧 𝑑𝑧
2
𝑄 = 30[𝑒 −2𝑧 ]42
𝑄 = 30[(𝑒 −2.4 − 𝑒 −2.2 )]
𝑄 = 30[(𝑒 −8 − 𝑒 −4 )]
Tugas :
1. Cari nilai e (ketetapan Euler) untuk mencari nilai Q
2. Cari nilai medan listrik muatan volume tersebut