PDB HOMOGEN Kenapa kita harus mempelajri Persamaan Deferensial Homogen ? karena tidak semua persamaan biasa tersebut bisa dijadikan seperabel atau terpisah. Ada banyak sekali persamaan deferensial biasa yang harus kita ketahui. Selain persamaan deferensial biasa seperabel, ada juga persamaan deferensial homogen. Untuk memahami persamaan deferensial biasa homogen ini, maka yang paling penting untuk di ingat adalah harus memahami bentuk umum dari persamaan deferensial homogen tersebut. Persamaan diferensial yang tidak bisa dipisahkan variabelnya antara variabel satu dengan lainnya, maka persamaan diferensial tersebut dapat dimanipulasi sehingga menjadi bentuk umum persamaan diferensial homogen. Definisi: Persamaan diferensial 𝑀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = 0 disebut homogen jika ditulis dalam bentuk derivatif 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , maka terdapat fungsi g sehingga 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔 (𝑥 ). Langkah mengetahui Persamaan Diferensial Homogen: 𝑑𝑦 1. Jadikan PD ke bentuk 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 2. Manipulasi 𝑓(𝑥, 𝑦) menjadi fungsi lain (misalkan g) dimana fungsi g 𝑦 𝑦 bervariabel 𝑥 . Sehingga: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔 (𝑥 ). Contoh: 1. Buktikan apakah persamaan diferensial berikut homogen. (𝑥 2 − 3𝑦 2 )𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 Penyelesaian: (𝑥 2 − 3𝑦 2 )𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = (3𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑦 2 −𝑥 2 2𝑥𝑦 3𝑦 2 𝑥2 = 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 3𝑦 𝑥 2𝑦 1∙𝑥 = 2∙𝑦 𝑥 = 2𝑥 − 2𝑦 𝑥 𝑦 1 = 𝑦/𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑦 1 = 2𝑥 − 2𝑦/𝑥 2. Apakah PD berikut homogen? (𝑦 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 Penyelesaian: (𝑦 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑑𝑦 = (𝑦 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦+√𝑥 2 +𝑦 2 𝑥 𝑦 =𝑥+ 𝑦 =𝑥+ √𝑥 2 +𝑦 2 → 𝑥 = √𝑥 2 𝑥 √𝑥 2 +𝑦 2 √𝑥 2 𝑥2 𝑦 𝑦2 = 𝑥 + √𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 2 𝑦 = 𝑥 + √1 + (𝑥 ) Pd homogen Contoh-contoh soal: 1. Periksa apakah PD (3𝑦 − 4𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 homogen atau tidak Penyelesaian Perhatikan bahwa (3𝑦 − 4𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑦−4𝑥 = 𝑦 𝑥 𝑥−𝑦 𝑥(3∙ −4) 𝑦 𝑥 𝑥(1− ) 𝑦 𝑥 3∙ −4 𝑦 1− 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑦 Karena variabel PD diatas dapat ditulis kembali sebagai 𝑣 = 𝑥 , maka PD ini homogen. 2. Buktikan persamaan berikut ini merupakan persamaan homogen ! (2𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 )𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 2 − 2𝑥 3 )𝑑𝑦 = 0 Penyelesaian : Fungsi 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 2𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 → = 2𝑎2 𝑥 2 𝑎𝑦 + 𝑎3 𝑦 3 = 𝑎3 (2𝑥 𝑦 + 𝑦 3 ) 𝑀(𝑎𝑥, 𝑎𝑦) = 𝑎3 [𝑀(𝑥, 𝑦)] Fungsi𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 2 − 2𝑋 3 → = 𝑎 𝑥𝑎2 𝑦 2 − 2𝑎3 𝑥 3 = 𝑎3 (𝑥𝑦 2 − 2𝑥 3 ) 𝑁(𝑎𝑥, 𝑎𝑦) = 𝑎3 [𝑁(𝑥, 𝑦)] Didapatkan 𝑎3 , maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogen berderajat 3 3. Selesaikan PD homogen berikut (2𝑥 2 + 3𝑦 2 )𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 Penyelesaian : PD tersebut dapat diubah bentuknya sehingga pemisalan 𝑦 𝑣 = − 𝑥 ↔ 𝑦 = 𝑣𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣 , bisa diberlakukan seperti berikut : (2𝑥 2 + 3𝑦 2 )𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 (2𝑥 2 + 3𝑦 2 )𝑑𝑥 = −3𝑥𝑦𝑑𝑦 2𝑥 2 +3𝑦 2 3𝑥𝑦 2𝑥 3𝑦 2 3𝑣 𝑦 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 Catatan : Perhatikan bahwa bentuk 𝑑𝑥 + 𝑥 = − 𝑑𝑦 𝑑𝑦 + 𝑣 = − 𝑑𝑥 3𝑣 ∫ − 2+6𝑉 2 𝑑𝑣 dapat ditentukan hasil pengintegralannya dengan menggunakan metode substitusi 𝑢 = 2 + 6𝑣 2 2+3𝑣 2 3𝑣 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 (2 + 3𝑣 2 )𝑑𝑥 = −3𝑣 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 + 3𝑣 2 𝑑𝑥 = −3𝑣(𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣) 2𝑑𝑥 + 3𝑣 2 𝑑𝑥 = −3𝑣 2 𝑑𝑥 − 3𝑣𝑥 𝑑𝑣 2𝑑𝑥 + 6𝑣 2 𝑑𝑥 = −3𝑣𝑥 𝑑𝑣 1 𝑥 𝑑𝑥 = − 3𝑣 2 + 6𝑣 2 𝑑𝑣 Langkah berikutnya adalah mengintegralkan ke dua ruas terhadap variabel yang bersesuaian . 1 3𝑥 ∫ − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − 2+6𝑣2 𝑑𝑣 1 ln 𝑥 = − 4 ln|−2 − 6𝑣 2 | + ln|𝐶| 𝑦 2 1 ln 𝑥 = − 4 ln |−2 − 6 (𝑥 ) | + ln|𝐶| 1 𝑦 2 4 𝑥 Jadi, penyelesaian PD homogen − ln |−2 − 6 ( ) | + ln|𝐶| 4. Tentukan penyelesaian dari PD berikut ! 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 Penyelesaian : Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen Ambil 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑀(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = (𝑘𝑥)2 − 𝑘𝑥𝑘𝑦 + (𝑘𝑦)2 = 𝑘(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦) 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑁(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑘𝑥𝑘𝑦 = 𝑘 2 (𝑥𝑦) (𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 adalah PD homogen (𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0, bagi dengen 𝑥 2 , diperoleh 𝑦 2 𝑦 𝑦 (1 − 𝑥 + (𝑥 ) ) = 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 … (1) Misal : 𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑑𝑢 Substitusikan ke persamaan (1) (1 − 𝑢 + 𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑢(𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢) = 0 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑑𝑥 − 𝑢2 𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 𝑑𝑢 = 0 (1 − 𝑢)𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 𝑑𝑢 = 0 .... (Bagi dengan [(𝑥(1 − 𝑢)] 1 𝑢 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 1−𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐1 − ln 𝑥 − ∫ ln 𝑥 − ∫ 𝑢−1+1 1−𝑢 𝑢−1+1 1−𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐1 𝑑𝑢 − ∫ 1 1−𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐1 ln 𝑥 + 𝑢 + ln(1 − 𝑢) = ln 𝐶, 𝑑𝑎𝑛 ln 𝐶 = 𝐶1 𝑦 Substitusikan 𝑢 = 𝑥 , sehingga diperoleh 𝑦 𝑦 ln 𝑥 + 𝑥 + ln (1 − 𝑥 ) = ln 𝐶 5. Selesaikan PD berikut ini (𝑥 2 + 𝑦 2 )dx + 𝑥𝑦 dy = 0 Penyelesaian : (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 dx 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)2 + (𝜆𝑦)2 = 𝜆2 + 𝑥 2 + 𝜆2 𝑦 2 = 𝜆2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝜆2 (𝑀(𝑥, 𝑦)) 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑥. 𝜆𝑦 = 𝜆2 (𝑥𝑦) = 𝜆2 (𝑁(𝑥, 𝑦)) Misalkan 𝑦 = 𝑣𝑥 dan 𝑑𝑦 = 𝑑𝑣. 𝑥 + 𝑣. 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 )dx + 𝑥𝑦 dy = 0 (𝑥 2 + (𝑣𝑥)2 )dx + 𝑥. 𝑣𝑥(dv. 𝑥 + 𝑣. dx) = 0 (𝑥 2 + 𝑣 2 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑣 (𝑑𝑣. 𝑥 + 𝑣. 𝑑𝑥) = 0 𝑥 2 + 𝑣 2 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥 3 𝑣 𝑑𝑣 + 𝑥 2 𝑣 2 𝑑𝑥 = 0 𝑥 2 𝑑𝑥 + 2𝑣 2 𝑥 2 + 𝑥 3 𝑣 𝑑𝑣 = 0 𝑥 2 𝑑𝑥 + 2𝑣 2 𝑥 2 𝑑𝑥 = −𝑥 3 𝑣 𝑑𝑣 𝑥 2 (1 + 2𝑣 2 )𝑑𝑥 = −𝑥 3 𝑣 𝑑𝑣 𝑥2 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑢 ∫ −𝑥 3 𝑑𝑥 = ∫ 1+2𝑣2 → 𝑢 = 1 + 2𝑣 2 , 𝑑𝑣 = 4𝑣 → 𝑑𝑣 = 1 𝑣 𝑑𝑢 ∫ − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 ∙ 4𝑣 1 1 − ln 𝑥 = 4 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 1 − ln 𝑥 = 4 𝑙𝑛|𝑢| 1 − ln 𝑥 = 4 ln(1 + 2𝑣 2 ) 1 𝑦 2 − ln 𝑥 = 4 ln (1 + 2 (𝑥 ) ) + 𝐶 1 𝑦 2 ln 𝑥 + 4 ln(1 + 2 (𝑥 ) + 𝐶 = 0 𝑑𝑢 4𝑣 Pembagian Kerja Kelompok 5 NAMA HALAMAN Nadia Andriarti : 1, 2 Nova Devi Yanti : 1,3,4,5,6, Delvita Ermanda : 2,3
