polinomial atas field

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
POLINOMIAL ATAS FIELD
1
Definisi:
 Suatu elemen c  field F disebut akar dari suatu polinomial
f(x)  F[x] jika f(c) = 0.
 Berlaku f(c) = 0 jika dan hanya jika (x-c) adalah faktor dari
f(x).
 Jika (x-c)m habis membagi f(x), dan tidak ada m lebih besar
lagi yang demikian, maka c disebut akar kelipatan m.
Contoh:
Faktorisasikan f(x) = x3-x2-x+1 dan tunjukkan kelipatan tiap
akarnya.
Teorema:
 Setiap polinomial f(x) berderajat n  1 atas field F
mempunyai sebanyak-banyaknya n buah akar di F.
 Setiap polinomial berderajat n  1 atas field C (bilangan
kompleks) mempunyai n buah akar di C.
Contoh:
Carilah akar-akar x2-2 dan x2+1 berturut-turut dalam field
bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks.
Teorema:
Misalkan f(x) = a0 + a1.x + a2.x2+ … + an.xn adalah polinomial
dengan koefisien-koefisien bulat. Jika r/s adalah akar rasional
dari f(x) dan (r,s) = pembagi persekutuan r dan s = 1, maka
ra0 dan san.
Akibat:
Suatu akar rasional dari polinomial monik a0 + a1.x + a2.x2+ …
+ 1.xn dengan koefisien-koefisien bulat adalah bilangan bulat
dan merupakan pembagi dari a0.
Pertemuan 26
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
2
Contoh:
 Carilah akar-akar rasional dari polinomial f(x) = 2 – 3x – 8x2
+ 12x3.
 Carilah akar-akar rasional dari polinomial f(x) = x3-x2-5x+5
Teorema:
Jika a+b.i adalah akar suatu polinomial f(x) dengan koefisienkoefisien riil, maka kompleks konjugatnya a-b.i adalah juga
akar f(x) (i = (-1)).
Akibat:
Suatu polinomial atas field bilangan riil R adalah irreducible
atas R jika dan hanya jika polinomial tersebut linier (berderajat
satu), atau kuadratis (berderajat dua) dengan diskriminan yang
negatif.
Contoh:
Carilah akar-akar: x3-x2+2x-2=0 dan periksalah kebenaran
teorema serta akibatnya.
REVISI UNTUK UAS
Pertemuan 26
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
3
Himpunan H
tak kosong
Ring (H,+,.)
Komutatif
+Dua
Operasi
(H,+,.)
+Komposisi
Biner
Struktur
Aljabar
+Satu Operasi
Grupoid
Ring/Gelanggang
(H,+) grup abelian,
(H,.) semigrup
Distributif
Ring Tanpa
Pembagi Nol
a taknol, b taknol,
maka a.b taknol
+Unsur
Kesatuan
Implikasi
Division Ring
(H-{0},.) grup
+Komutatif
+Komutatif
Integral Domain
Gelanggang
Dengan Unsur
Kesatuan
(H,.) monoid
Implikasi
dan
sebagainya
Pertemuan 26
Field