teorema taylor

FOURIER
 Analisis fourier adalah metoda proses matematika untuk menguraikan sebuah
gelombang seismik menjadi beberapa gelombang harmonik sinusoidal dengan
frekuensi berbeda-beda.
 Analisis fourier dilakukan dengan menjumlahkan beberapa gelombang sinusoidal
frekuensi tunggal.
 Deret fourier adalah sejumlah gelombang sinusoidal.
 Contoh:
 Transformasi Fourier adalah metoda untuk mengubah gelombang seismik dalam
domain waktu menjadi domain frekuensi.
 Proses sebaliknya adalah Inversi Transformasi Fourier (Inverse Fourier
Transform).
 Istilah Fourier digunakan untuk menghormati Jean Baptiste JosephFourier (1768 –
1830),matematikawan yang memecahkan persamaan differensial parsial dari model difusi
panas, beliau memecahkannya dengan menggunakan deret tak hingga dari fungsi-fungsi
trigonometri.
 Setiap bentuk gelombang yang kompleks dapat diperlihatkan terjadi dari
sejumlah gelombang sinus murni terdiri dari suatu gelombang sinus dasar
ditambah harmonik-harmonik khusus gelombang itu. Sebagai contoh, dengan
menambahkan harmonik gasal pada sebuah gelombang sinus (yaitu 3f, 5f, 7f,
dst.) akan diperoleh gelombang persegi. Seri Fourier umum yang dapat
digunakan untuk menggambarkan fungsi periodik apapun ditentukan oleh:
dan disini an dan bn adalah koefisien-koefisien yang akan dievaluasi untuk
berbagai harmonik.
yang disini
dan
 Suku DC adalah
adalah waktu periodik.
 Perhatikan bahwa jika
maka fungsi itu adalah genap, yang
memberikan simetri terhadap asal dan kemudian hanya suku-suku cosinus yang
muncul.
 Sebaliknya jika
suku sinus yang muncul.
maka fungsi adalah gasal dan hanya suku-
 Analisis fourier sangat berkaitan dengan gelombang sinus karena gelombang ini
mempertahankan bentuknya ketika ditambahkan kepada gelombang sinus
berfrekuensi sama dengan yang lain walaupun fasenya berbeda dan hanya
gelombang ini saja yang punya sifat seperti
 Gelombang sinus adalah fungsi matematika yang berbentuk osilasi halus
berulang.


A, amplitudo, adalah puncak simpangan fungsi dari posisi tengahnya,
ω, frekuensi sudut, menunjukkan berapa banyak gerak bolak-balik yang terjadi
dalam satu satuan waktu, dalam radian per detik,

φ, fase, menunjukkan dimana posisi awal gerakan ketika t = 0,
TEOREMA TAYLOR
 teorema taylor memberikan barisan pendekatan sebuah fungsi yang diferensiabel pada
sebuah titik menggunakan suku banyak (mampu menghampiri suatu fungsi secara
polinomial), koefisien polinomial hanya tergantung pada turunan fungsi pada titk yang
bersangkutan. Selain itu teorema ini juga memberikan estimasi besarnya galat dari
pendekatan itu.
 Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang
menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama
kali tahun 1671 oleh James Gregory
 Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan
polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi
eksponensial ex di dekat x = 0:
 Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n' terhadap ex karena
menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n.
Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi
nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan
oleh suku sisa:
 Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat
diturunkan ƒ, dengan hampiran untuk x di dekat titik a, dalam bentuk:
 Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:
 Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor
juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk x cukup dekat
terhadap a, suku sisa haruslah cukup kecil. Teorema Taylor memberikan
informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.
 Deret Taylor.
Untuk setiap fungsi
yang diferensiabel di titik c, maka berlaku ekspansi dari
sebagai berikut.
 Bunyi teorema
Untuk fungsi
yang diferensiabel di titik c, maka hanya akan terdapat 1 fungsi
yang memenuhi kondisi berikut.
 Contoh Soal:
Diketahui
,
,
. Dengan
, berapakah nilai dari
, dst, yang memenuhi persamaan berikut?
 Jawab:
Fungsi di atas merupakan polinomial yang berderajat 3. Oleh karena itu, kita
,
tidak perlu memperhatikan derajat yang lebih besar dari 3,
seperti
nilai
, dan seterusnya. Artinya, nilai yang perlu dicari adalah
,
,
, dan
saja. (sisanya bernilai nol).
Soal ini dapat dikerjakan dengan penjabaran biasa (yang sesungguhnya, akan
lebih efektif menggunakan formula deret taylor).
Setelah dikalikan dan dijumlahkan menjadi sbb:
Dengan menghubung-hubungkan koefisien ruas kiri dan kanan, kita akan
menemukan jawabannya:
,
,
, dan
. Jawaban ini
tentunya unik.
 Dari Teorema Taylor, didapat fungsi yang didefinisikan sbb:
Bagaimana jika fungsi tersebut kita turunkan 1 kali, 2 kali dan seterusnya? Hasilnya
ditunjukkan di bawah.
...
... (dst)
Kemudian, pada fungsi awal dan fungsi-fungsi turunan tersebut, jika kita
menetapkan
, maka:
...
... (dst)
Dengan memasukkan harga
,
,
,
, dst, maka Deret Taylor pun terbukti.
Sumbernya:
http://ensiklopediseismik.blogspot.com/2008/02/analisis-fourier-deret-fourier.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_Fourier
http://id.wikipedia.org/wiki/Gelombang_sinus
http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Taylor
www.google.com/search?q=analisa+taylor&oq=analisa+taylor&gs_l=serp.3..0i22i30l5j0i13i5i30j0i8i1
3i30j0i8i13i10i30j0i8i13i30l2.1206156.1207653.0.1213850.6.6.0.0.0.0.1451.7632.61j5.6.0....0...1c.1.26.serp..5.1.824.UPsVPfdaoHA#psj=1&q=teorema+taylor