optimization on gas and oil pipeline network

PROGRAM MATRIKULASI S2
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PENGANTAR ANALISIS REAL
DR. MARWAN RAMLI
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SYIAH KUALA
Banda Aceh, 28 Agustus 2012
outline
BILANGAN REAL
Sifat aljabar dan urutan dalam bilangan real
Nilai mutlak dan garis real
Sifat kelengkapan bilangan real
Interval dalam bilangan real
BARISAN DAN DERET
Barisan dan limit barisan
Beberapa teorema limit barisan
Deret tak hingga
OPERASI BINER
Misalkan A adalah himpunan tak kosong. Operasi biner * atas A
adalah pemetaan setiap pasangan berurutan x,y  A ke tepat satu
anggota x*y  A
*:AxAA
(x,y)  x*y
Contoh : Operasi + pada himpunan bilangan bulat Z
+ : (3,5)  3+5 =8
Himpunan A dikatakan tertutup terhadap biner * apabila setiap x,y
 A memberikan x*y  A
Contoh : Operasi - pada himpunan bilangan asli N
- : (3,5)  3-5 =-2  N
INDUKSI MATEMATIKA
PRINSIP PERTAMA INDUKSI BERHINGGA
Misalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang
menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif.
Langkah pembuktian :
1. Tunjukkan berlaku untuk n0
2. Asumsikan berlaku untuk n=k
3. Tunjukkan berlaku untuk n=k+n0
PRINSIP KEDUA INDUKSI BERHINGGA
Misalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang
menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif.
Langkah pembuktian :
1. Tunjukkan berlaku untuk n0
2. Asumsikan berlaku untuk n=k, n0≤ k < m
3. Tunjukkan berlaku untuk n=m
GRUP
Suatu grup {G,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan
operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi :
1. Tertutup
: a*b G a,bG
2. Hukum asosiatif : (a*b)*c=a*(b*c), a,b,cG
3. Unsur identitas : !eG  a*e= e*a=a, aG
4. Unsur invers
: !a-1G  a* a-1 = a-1 *a=e, aG
Grup {G,*} dikatakan grup abel apabila a*b= b*a, a,bG
Grup {G,*} dikatakan grup siklik asalkan G=<a> (baca : G dibangun
oleh a) untuk suatu aG
G={an| nZ}
Z himpunan anggota bilangan bulat. Contoh {Z4,+}.
{Z4,+} = <1> atau <3>
GRUP BAGIAN
Suatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan bagian dari G
yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dengan G yang
dibatasi pada S.
Contoh :
1. {Z,+} adalah grup bagian dari {R,+}
2. {S,+} dengan S={0,2,4} adalah grup bagian dari {Z6,+}
3. {Z6,+} bukan grup bagian dari {Z12,+}
Teorema : Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen
identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian G jika dan hanya
jika memenuhi :
1. eS
2. S tertutup di bawah operasi G
3. Untuk sebarang sS, invres s ditulis s-1S
GELANGGANG
Suatu Ring {R,+,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan
operasi biner “+”, “*” yang didefinisikan pada R dan memenuhi :
1. {R,+} grup komutatif
2. {R,*} bersifat asosiatif
3. R distributif : a,b,cR, a*(b+c)=a*b+a*c dan (a+b)*c=a*c+b*c
Contoh :
{Z,+,.}, {R,+,.}, {Q,+,.} {C,+,.}, {M2,+,.}
Suatu Gelanggang Komutatif {R,+,*} dikatakan integral domain
apabila tidak memuat pembagi nol.
Contoh : {Z,+,.}, {Zp,+,.} integral domain
{Zn,+,.} bukan integral domain
BILANGAN REAL
SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL
Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai
penjumlahan dan perkalian
BILANGAN REAL
SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL
Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai
penjumlahan dan perkalian
Dapat ditunjukkan bahwa
1. Himpunan bilangan real adalah grup atas operasi penjumlahan
2. Himpunan bilangan real tanpa nol adalah grup atas operasi
perkalian
BILANGAN REAL
SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL
Algoritma Pembagian
Misalkan a,b Z dengan a>0, ! q,r Z  b = qa + r, 0 ≤ r < a
Contoh :
1. 38 dibagi 7 ; 38 = (5) 7 + (3), jadi q=5 dan r=3
2. -38 dibagi 7 ; -38 = (-6) 7 + 4, jadi q=-6 dan r = 4
BILANGAN REAL
Bilangan Rasional dan Irrasional
Himpunan bilangan rasional yang dinotasikan dengan Q adalah
suatu himpunan yang setiap anggotanya dapat dituliskan dalam
bentuk :
a/b,  a,bZ, b≠0
Himpunan bilangan irrasional yang dinotasikan dengan R-Q adalah
suatu himpunan yang setiap anggotanya tidak dapat dituliskan
dalam bentuk :
a/b,  a,bZ, b≠0
Contoh
(Buktikan !)
BILANGAN REAL
SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Sub himpunan P R disebut sebagai himpunan bilangan real
positif apabila memenuhi :
1. a+b P,  a,bP
2. a.b P,  a,bP
3. Untuk suatu aP, maka akan memenuhi salah satu kondisi :
a P, a=0 dan -aP (sifat trikotomi)
Akibat sifat trikotomi  a,bR, a<b, a=b, a>b.
Apabila a≤b dan b≤a, maka a=b
a<b<c artinya a<b dan b<c
BILANGAN REAL
SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Teorema : Untuk sebarang a,b,c  R.
1. Apabila a<b dan b<c, maka a<c
2. Apabila a>b, maka a+c > b+c
3. Apabila a>b dan c>0, maka ac > bc, apabila a>b dan c<0, maka
ac < bc
4. Apabila a>0, maka 1/a > 0, apabila a<0, maka 1/a < 0
Teorema :
1. Apabila aR dan a≠0, maka a2>0
2. 1 > 0
3. Apabila n N, maka n>0
Teorema :
Apabila a,bR dan a<b, maka a < (a+b)/2 < b
BILANGAN REAL
SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Teorema : Misalkan a,b  R, apabila ab > 0 maka berlaku
1. a>0 dan b>0,
2. a<0 dan b<0
Teorema : Misalkan a,b  R, apabila ab < 0 maka berlaku
1. a>0 dan b<0,
2. a<0 dan b>0
Nilai Mutlak. Nilai mutlak dari suatu bilangan real a dinotasikan
dengan |a|, didefinisikan sebagai
BILANGAN REAL
SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Teorema : Misalkan a,b,c  R
1. |ab|=|a||b|
2. |a|2=a2
3. Apabila c≥0, maka |a|≤ c jika dan hanya jika -c ≤ a ≤c
4. -|a|≤a ≤|a|
Teorema : Untuk a,b  R berlaku
1. |a+b|≤|a|+|b|
2. ||a|-|b|| ≤ |a-b|
3. |a-b| ≤ |a|+|b|
Akibat : Untuk a1,a2,…,an  R berlaku
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|
BILANGAN REAL
SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Contoh : Diberikan suatu fungsi yang didefinisikan oleh
dengan x[2,3]. Tentukan M sedemikian rupa sehingga f(x)≤ M
Solusi :
|2x2-3x+1| ≤ 2x2+3|x|+1=28
sementara itu
|2x-1|≥ 2|x|-1=3.
Dengan demikian |f(x)|≤ 28/3. Jadi M = 28/3
BILANGAN REAL
GARIS BILANGAN REAL
Salah satu interpretasi geometris yang cukup dikenal adalah garis
bilangan real. Pada garis real nilai mutlak |a|, aR, adalah jarak
dari titik a ke titik 0. Secara umum jarak dari suatu titik a ke titik b,
dengan a,bR, di R adalah |a-b|.
|2-(-1)|=3
Diberikan aR dan >0. Persekitaran- dari a didefinisikan sebagai
himpunan
V(a)={xR:|x-a|<}=(a-,a+)
BILANGAN REAL
SIFAT KELENGKAPAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Supremum dan Infimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S
R.
1. Himpunan S dikatakan terbatas ke atas apabila terdapat suatu
bilangan uR, sedemikian sehingga s≤u,sS
2. Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah apabila terdapat
suatu bilangan wR, sedemikian sehingga s≥w,sS
3. Himpunan S dikatakan terbatas apabila terbatas ke atas dan
terbatas ke bawah
Supremum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R.
Misalkan S terbatas ke atas, suatu bilangan uR dikatakan
supremum dari S apabila u adalah batas atas terkecil untuk S
Infimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R.
Misalkan S terbatas ke bawah, suatu bilangan wR dikatakan
infimum dari S apabila w adalah batas bawah terbesar untuk S
Terima Kasih
sampai Jumpa
2D Wave Generation Simulations