Turunan

BAB 3. DIFFERENSIAL
Motivasi:
bagaimana menentukan gradien garis singgung suatu kurva di suatu
titik pada kurva
bagaimana menentukan kecepatan sesaat suatu benda yang
bergerak sepanjang garis lurus
Definisi: misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a.
Turunan fungsi f di x = a yang dinotasikan sebagai f’(a) adalah
f ( a + h) − f ( a )
h
h →0
f ( x) − f ( a )
= lim
,
x−a
x→a
f ′(a ) = lim
jika limit tersebut ada.
Catatan: jika f’(a) ada maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di x = a.
1
Contoh :
1. f ( x) = k , k konstanta
f ( a + h) − f ( a )
k −k
′
f (a) = lim
= lim
=0
h
h →0
h→0 h
2. f ( x ) = x
f ( a + h) − f ( a )
a+h−a
h
f ′( a ) = lim
= lim
= lim = lim 1 = 1
h
h
h→0
h→0
h→0 h
h→0
3. f (x) = x2 − 4
, tentukan f’(2)
 x 2 − 4,
x2 − 4 = 
4 − x 2 ,
jika x 2 − 4 ≥ 0 yaitu jika x ≥ 2 atau x ≤ −2
jika x 2 − 4 < 0 yaitu jika - 2 < x < 2
f (x) − f (2)
f ′(2) = lim
= lim
x −2
x→2
x→2
x2 − 4 − 0
x −2
x2 − 4
= lim
x→2
x −2
= ???
2
x2 − 4
4 − x2
(2 − x)(2 + x)
lim−
= lim−
= lim
x −2
x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2
− (x − 2)(2 + x)
= lim
= − lim 2 + x = −4 = f−′ (2)
x −2
x→2
x→2
x2 − 4
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
lim+
= lim+
= lim
= lim x + 2 = 4 = f+′ (2)
x −2
x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2
x→2
x2 − 4
Karena lim−
x→2
x−2
x2 − 4
≠ lim+
x→2
x−2
x2 − 4
maka lim
x →2
x−2
tidak ada.
Jadi f ′(2) tidak ada. Berarti x 2 − 4 tidak terdiferensialkan di x = 2.
3
y = x2 − 4
y = x2
y = x2 − 4
4
Turunan kiri dan turunan kanan
Definisi : Turunan kiri (kanan) fungsi f di x = a adalah
f −′ (a ) = lim−
h →0
= lim−
x →a
f ( a + h) − f ( a )
h
f ( x) − f (a)
,
x−a
f ( a + h) − f ( a ) 

′
 f + (a ) = lim+

h
h →0




f ( x) − f (a)
= lim+
. 

x−a
x →a


Kembali lagi ke definisi turunan di suatu titik a :
f ( a + h) − f ( a )
h
h →0
f ′(a ) = lim
Bila a diambil sebarang bilangan di himpunan bilangan riil maka diperoleh suatu fungsi
yang mengaitkan setiap bilangan riil a ke f’(a) , yaitu
f ′:ℜ → ℜ
a → f ′( a)
x → f ′( x)
Jadi dari fungsi f diperoleh fungsi baru f’(x) yang disebut fungsi
turunan / diferensial dari f(x).
5
Sifat-sifat fungsi turunan:
1. ( f ± g )′( x ) = f ′( x ) ± g ′( x )
2. ( kf )′( x ) = kf ′( x )
3. ( fg )′( x ) = f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x )
′
 f 
f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x )
4.   ( x ) =
2
g
(
g
(
x
))
 
5. ( fgh )′( x ) = ?
n
6. ( f )′( x ) = ?
6
5 . ( fgh )′( x ) = f ′( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ′( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ′( x )
n ′
6 . f ( x ) = f f′ n −1 + ff f′ n − 2 + ff f f′ n − 3 + K + fff K f ′
( )
= nf n −1 f ′
Akibat
: f (x) = x n ,
n bilangan
asli
′
( ) = nx n −1 . 1 = nx n −1
f ′( x ) = x
n
Untuk n = 0 jelas berlaku
Untuk n bilangan bulat negatif, maka n = -m, m bilangan asli, sehingga
f ( x) = x
−m
⇒ f ′( x ) =
=
1
xm
0. x m − 1.mx m −1
x 2m
n
Jadi : f ′( x ) = ( x ) ′ = nx
=−
n −1
mx m −1
x 2m
= − mx − m −1 = nx n −1
7
,
n bilangan bulat
Teorema: Jika f’(a) ada maka f kontinu di a
Hati2! Sifat kebalikannya tidak benar!!!!
Jika f kontinu di a maka tidak selalu mengakibatkan f’(a) ada !!!!
Demikian pula
Jika f’(a) tidak ada maka tidak selalu mengakibatkan f tak kontinu di a !!!!
Yang benar: Jika f tidak kontinu di a maka pasti f tidak terdiferensialkan di a
Contoh:
f ( x) = x 2 − 4
2
Jelas bahwa f(x) kontinu di x = 2, sebab lim x − 4 = 0 = f (2). Tetapi
x →2
Kesimpulan
f ′(2) tidak ada.
f ′(a ) ada → f kontinu di a → lim f ( x) ada
x→a
f ′(a) ada
f kontinu di a
lim f ( x) ada
x→a
8
Contoh :
mx + b, x < 2
Jika f ( x) =  2
 x ,
x ≥ 2,
tentukan a dan b agar f ( x) terdiferensialkan di ℜ.
Jawab: Periksa terlebih dahulu kekontinuan f(x). Karena f(x) berupa polinom untuk x < 2
dan x > 2, maka f(x) kontinu untuk x < 2 dan x > 2. Jadi cukup diperiksa
kekontinuan f(x) di x = 2, yaitu
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (2), yaitu
x →2
x →2
m.2 + b =
2m + b = 4
4 = 4
Lalu periksa turunan kiri dan turunan kanan di x = 2 :
f (2 + h) − f (2)
m( 2 + h) + b − 4
= lim−
h
h
h →0
h →0
mh + 2m + b − 4
mh + 4 − 4
mh
= lim−
= lim−
= lim−
= m,
9
h
h
h →0
h →0
h →0 h
f −′ (2) = lim−
( 2 + h) 2 − 4
f (2 + h) − f (2)
= lim−
f +′ (2) = lim+
h
h
h →0
h →0
4 + 4h + h 2 − 4
h( 4 + h)
= lim−
= lim−
= 4,
h
h
h →0
h →0
Agar f(x) terdiferensialkan di x = 2 maka haruslah
f −′ (2) = f +′ (2), yaitu m = 4, dan b = 4 − 2m = −4
y=x
2
y = f(x)
y = 4x - 4
10
Turunan fungsi trigonometri
1. Jika f ( x) = sin x, maka f ′( x) = ?
f ( x + h) − f ( x )
sin( x + h) − sin x
= lim
h
h
h →0
h →0
sin x cos h + cos x sin h − sin x
= lim
h
h →0
cos h
sin h sin x
= lim sin x
+ cos x
−
h
h
h
h →0
sin h
 cos h 1 
= lim sin x
−  + cos x lim
h
h →0
h →0 h
 h
sin h
 cos h − 1 
= lim sin x
+
cos
x
lim
= sin x.0 + cos x.1 = cos x

h
h →0
h →0 h


f ′( x) = lim
11
2. Jika f ( x) = cos x, maka f ′( x) = ?
f ( x + h) − f ( x )
cos( x + h) − sin x
= lim
h
h
h →0
h →0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
= lim
h
h →0
sin h
 cos h 1 
= lim cos x
−  − sin x lim
h
h →0
h→0 h
 h
sin h
 cos h − 1 
= lim cos x
−
sin
x
lim
= cos x.0 − sin x.1 = − sin x

h
h →0
h →0 h


f ′( x) = lim
3. Turunan fungsi trigonometri yang lain dapat ditentukan dari turunan
fungsi sin x dan cos x menggunakan aturan turunan hasil bagi dua
fungsi.
12
ATURAN RANTAI
Misalkan y = ( f o g )( x) = f ( g ( x) ) = h( x)
tentukanlah
Misalkan
y ′(x) !
g ( x) = u → y = f (u )
sehingga
dy dy du dy dg
y′ =
=
=
= f ′(u) g ′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x)
dx du dx du dx
Contoh
1. y = cos( 2 x 2 + 3 x − 1), tentukan y ′ !
Misalkan u = g ( x ) = 2 x 2 + 3 x − 1
maka y = cos(u ) = f (u ) = f ( g ( x ) ) = ( f o g )( x )
dy du
sehingga y ′ =
= − sin(u )( 4 x + 3) = −( 4 x + 3) sin( 2 x 2 + 3 x − 1)
du dx
13
(
)
2. y = cos 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5 , tentukan y ′ !
Misalkan t = 2 x 2 − 4 x + 5
u = 5 sin t
v= u =u
1
2
w = cos(v)
maka y = w = w
1
2
1
dy dw dv du dt 1 − 12
= 2 w (− sin(v) ) 12 u − 2 5 cos(t )(4 x − 4)
dw dv du dt dx
5(4 x − 4) cos(2 x 2 − 4 x + 5) sin  5 sin 2 x 2 − 4 x + 5 


=−
sehingga y ′ =
(
(
)
(
4 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5 cos 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5
)
)
14
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Bentuk y =f(x) disebut fungsi eksplisit sebab y dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai
fungsi dari x. Ciri-ciri fungsi eksplisit: biasanya y dan x terpisah di ruas yang berbeda.
y sebagai fungsi dari x juga dinyatakan secara implisit, yaitu dengan mengumpulkan x dan y
di ruas yang sama menjadi bentuk F(x,y)=0. Fungsi eksplisit dengan mudah dapat diubah
menjadi fungsi implisit, namun fungsi implisit tidak selalu dapat (dengan mudah) diubah
menjadi fungsi eksplisit.
Contoh
1. y =
cos x 2
3
tan( x − 1)
cos x 2
(eksplisit ) → y −
= 0 (implisit)
3
tan( x − 1)
1 4 42 4 43
F ( x, y )
2. x 2 + 3 y 4 = 12
(implisit)
3. 8 x 3 + x 2 y − 4 y + 6 = 0
4. 8 x 3 + x 2 y 3 − 4 y + 6 = 0
5. cos (xy) + xy 2 = 0
(implisit)
(implisit)
(implisit)
15
TRIK MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
1. Bila memungkinkan, nyatakan sebagai fungsi eksplisit
2. Bila tidak memungkinkan, turunkan setiap suku dari F(x,y)=0. Dengan
mengingat bahwa y = f(x), gunakan aturan rantai, lalu selesaikan persamaan
untuk
Contoh:
dy
.
dx
1. 8 x 3 + x 2 y 3 − 4 y + 6 = 0
Turunkan setiap suku terhadap x :
dy
dy
−4 =0
dx
dx
dy
24 x 2 + 2 xy 3 + x 2 3 y 2 − 4
=0
dx
dy
24 x 2 + 2 xy 3 = 4 − x 2 3 y 2
dx
24 x 2 + 2 xy 3 + x 2 3 y 2
(
(
)
)
dy 24 x 2 + 2 xy 3
y′ =
=
dx
4 − x2 3y2
2. Tentukan persamaan garis singgung dari grafik
persamaan y + sin( xy 2 ) + 3x 2 = 3 di titik (1,0).
16