Limit dan Kekontunuan

Kalkulus
Pertemuan 4 Limit dan Kekontinuan
Pengertian Limit
Misalkan
f ( x) 
x2 1
x 1
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa
ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1. Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai
f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x)
mendekati 2 jika x mendekati 1. Secara matematis dapat
dituliskan
Dibaca “ limit dari
.
untuk x mendekati 1 adalah 2 .
Untuk mengatakan bahwa
berarti bahwa
bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x)
dekat ke L.
Definisi Limit
lim f ( x)  L jika   0 ,    0  0  | x  c |    | f ( x)  L |  
x c
Menghitung Nilai Limit
1. Menghitung secara Langsung
a.
lim 3x  5  3(1)  5  2
b.
lim
x 1
x 2
2 x  2 2(2)  2 1


x2
22
2
2. Faktorisasi
a.
b.
1
Limit dan Kekontunuan
3. Limit Fungsi Trigonometri
sin x
1
x 0
x
tan x
1
x 0
x
2. lim cos x  1
1. lim
3. lim
x 0
Contoh
sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
.4
3  lim
.4
3  lim
.4
3x  sin 4 x
7
4 x 0
x 0
4
x
4
x
4
x
 lim



a. lim
x 0 5 x  tan 2 x
x 0
tan 2 x
tan 2 x
tan 2 x
5
.2
5  lim
.2 3
5  lim
.2
2
x

0
x

0
2x
2x
2x
3
b. Hitunglah limit trigonometri berikut!
1. lim
t 0
tan 2 4t
5t
2. lim
t 0
sin 3t  4t
t 0
t sec t
4. lim
5. lim
x 0
cot  t sin t
2 sec t
2 cos 2 t
t  0 1  sin t
3. lim
tan 3x
sin 2 x
Limit Kiri dan Limit Kanan

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit
kiri. Notasi
lim f ( x)
x c 

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit
kanan. Notasi
lim f ( x)
x c 

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan
lim f ( x)  L  lim f ( x)  L dan lim f ( x)  L
x c

Jika
x c
x c
lim f ( x)  lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada.
x c 
x c
xc
Contoh 1
Hitunglah
Jawab:
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari
limit kiri dan limit kanan di x=0
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
2
Limit dan Kekontunuan
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit
kanan di x=2
Contoh 2
Sifat-sifat Limit
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
3
Limit dan Kekontunuan
Limit tak Hingga
Contoh
Limit di Tak Hingga
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
4
Limit dan Kekontunuan
Kekontinuan
Definisi
Fungsi
dikatakan kontinu di titik
, jika
1. f(a) ada
2.
ada, artinya
3.
Jika salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi, maka dikatakan bahwa f tidak kontinu di
.
Contoh 1
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
5
Limit dan Kekontunuan
Contoh 2
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya!
Latihan 4
A. Menghitung Nilai Limit
B. Limit tak Hingga dan Limit di tak Hingga
C. Kekontinuan
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
6
Limit dan Kekontunuan
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
7