FUNGSI TRIGONOMETRI DAN LIMIT

Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran
satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik
asal.
X2 + y2 = 1
Panjang busur AP = t
Keliling C = 2π
y
Jika t = π, maka P setengah
P(x,y)
C
jalan mengelilingi ligkaran,
t
P(-1,0).
y
t = 3/2π, maka P(0,-1)
x
A (1,0) x t = 2π, maka P(1,0)
t>2π , perlu lebih 1 putaran
t<2π, maka = t
Fungsi sinus dan kosinus
t bilangan real menetukan titik P(x,y), maka:
sin t = y
cos t = x
Sifat dasar sinus dan kosinus
Daerah hasil atau x dan y (antara 1 dan -1) atau [1,1]
Keliling Lingkaran = 2π, nilai t dan t + 2π
menentukan titik P(x,y) yang sama;
sin (t + 2π) = sin t
cos (t + 2π) = cos t
Titik P1 dan P2 berkorespondensi dengan t dan –t,
masing-masing simetri terhadap sumbu x. Jadi
koordinat x dari P1 dan P2 adalah sama, dan y hanya
berbeda tanda.
Sin (-t) = -sin t
cos (-t) = cos t
y
P1(x,y)
t
(1,0)
P2(x,-y)
-t
x
Titik P3 dan P4 berkorespondensi dengan t dan π/2 –
t simetri terhadap garis y = x, sehingga koordinat
saling tukar.
Sin (π/2 –t) = cos t
Sehingga
sin2t + cos2t = 1
y
(0,1)
t P4(y,x)
P3(x,y)
t
(1,0)
Y=x
-t
x
cos (π/2 –t) = sin t
t= π/4, maka:
1 = x2 + y2 = cos2π/4 + cos2π/4
y
(0,1)
P
1
x
Y=x
π/4
x
x
B
-t
Sama sisi, sisi r = 1, garis tinggi h=½
Sin 30 = ½ = cos 60
Cos 30 = ½
= sin 60
Tg 30 = 1/3
= cotg 60
sec 30 = 2/3
= cosec 60
cosec 30= 2 = sec 60
cotg 30 =
= tg 60
membagi 2 sisi r.
Grafik Sinus dan Kosinus
Tambahkan gambar grafik…..
t
Sin t
Cos t
0
0
0
𝜋/6
½
3 /2
𝜋/4
2/2
2 /2
𝜋/3
3/2
1/2
𝜋/2
1
1
2𝜋/3
3/2
0
-1/2
3𝜋/4
2 /2
- 2 /2
5𝜋/6
1/2
- 3 /2
𝜋
0
-1
4 hal:
1. Sin t dan cos t berkisar -1 sampai 1.
2. Kedua grafik berulang pada interval
yang berdampingan di sepanjang 2𝜋.
3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik
asal, dan y = cos t simetri terhadap
sumbu y.
4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t,
tetapi digeser 𝜋/2 satuan ke kanan
Periode dan amplitude Fungsi trigonometri
o Fungsi f dikatakan periodic jika terdapat suatu
bilangan p sedemikian rupa sehingga:
o F(x+P) = f(x)
o P = periode f.
o Fungsi sinus adalah periodic karena sin (x+12𝜋) =
sin x.
o Sin (x+4𝜋) = sin (x-2𝜋) = sin(x+12𝜋) = sin x
o Fungsi sinus dan cosinus periodic dengan 2𝜋.
o Fungsi sin(at) memiliki periode 2𝜋/a:
2𝜋
o Sin[a(t+ )] = sin[at + 2𝜋] = sin (at)
𝑎
Berapakah fungsi periodic berikut?
a. Sin (2𝜋t)
b. cos (2t)
Jawab:
a.
c. sin (2𝜋𝑡/12)
Derajat
Radian
0
0
30
𝜋/6
45
𝜋/4
60
𝜋/3
90
𝜋/2
120
2𝜋/3
135
3𝜋/4
150
5𝜋/6
180
𝜋
360
2𝜋
1800 = 𝜋 = 3.1415927 radian
1 radian ≈ 57.2950
10 = 0.0174533 radian
Fungsi trigonometri sudut yang lebih besar 90
atau yang negatif dapat diperoleh:
Sin (-α) = -sinα = -y/r
Cos (-α) = cos α = x/r
Tg (-α) = -tg α
Sin (180-α) = y/r = sin α
Cos (180-α) = -x/r = cos α
Tg (180-α) = ctg α
Sin (90 + α) = x/r = cos α
Cos (90 + α) = -y/r = -sin α
Tg (90 + α) = -cotg α
Sin (α± k2π) = sin α; k = 1,2,3
Fungsi dari jumlah sudut
Cos (α-β) = cos α . Cos β + sin α. Sinβ
Cos (α+β) = cos α . Cos β - sin α. Sinβ
Sin (α-β) = sin α . Cos β - cos α. Sinβ
sin (α+β) = sin α . Cos β + cos α. Sinβ
Identitas sudut ganda
Sin 2x = 2 sin x cos x
Cos 2x = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Limit
Luas lingkaran adalah limit dari poligon-poligon
beraturan ketika n (banyaknya sisi poligon)
meningkat tanpa batas.
 grafik fungsi y = f(x) untuk a ≤ x ≤ b. grafik
berupa garis lurus, maka mudah dicari dengan
rumus
jarak.
Bagaimana
dengan
grafik
melengkung?
Makna Limit secara Intuisi
Bahwa
; berarti bahwa ketika x dekat
tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.
Limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat
c, bukan di c. makna dekat? Seberapa dekat adalah
dekat?.
Tak terdefinisi jika x = 1, karena
Diagram skematis
3,813
x
1,25
1,25
3,813
1,1
3,310
1,01
3,030
1,001
3,003
1,0
?
0,999
2,997
0,99
2,970
0,9
2,710
0,75
2,313
3,310
1,1
3,030
3,003
2,997
2,970
1,01
1, 001
0,999
0,99
0,9
2,710
0,75
x
2,313
y
= 12 +1+1 = 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
LIMIT SATU SISI
x
x
c+ (x mendekati c dari kanan)
c- (x mendekati c dari kiri)
LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
berarti bahwa ketika x dekat
tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) dekat
ke L.
berarti bahwa ketika x dekat
tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke
L.
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Pengkajian Mendalam Tentang Limit
Gunakan plot dari y = f(x) = 3x2 untuk menentukan
seberapa dekat x seharusnya ke 2 untuk menjamin
bahwa f(x) berada di dalam 0,05 dari 12.
Jawab:
11,95<f(x)<12,05.
Garis y = 11.95 dan 12,05. y = 3x2 ,
,
sehingga
Interval untuk x = 1,99583 < x < 2,00416
14
y = 3x2
13
12,15
12,1 y= 12,05
12,05
12
11,95 y= 11,95
11,9
11,85
y= 12,05
12
y= 11,95
11
10
1,6
1,8
2
2,2
2,4
1,98 1,99 2
y = 3x2
2,01
2,02 2,03 x
x = 1,99583 < x < 2,00416
Pengertian presisi Limit
lim f x = L, berarti bahwa untuk tiap ε > 0 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑝𝑢𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 ,
x→c
𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝛿 > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehinggga |𝑓 𝑥 − 𝐿 | < ε
asalkan bahwa 0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿;
0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿
|𝑓 𝑥 − 𝐿 | < ε
Teorema Limit
1. lim 𝑘 = 𝑘
𝑥→𝑐
2. lim 𝑥 = 𝑐
𝑥→𝑐
3. lim 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
4. lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
= lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
5. lim 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 − lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
6. lim 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 . lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
lim 𝑓 𝑥
7.lim 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
, asalkan lim g(x) ≠ 0
lim 𝑔 𝑥
𝑥→𝑐 𝑥→𝑐
8.lim [𝑓 𝑥 ]𝑛 = [lim 𝑓
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥
𝑥→𝑐
]𝑛
9. lim 𝑛 lim 𝑓(𝑥), asalkan lim f(x) > 0 ketka n genap.
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Soal
1. lim 2x 4 = 2 lim x 4 = 2 [lim x]4 = 2[3]4 = 162
x→3
x→3
x→c
2. lim(3x 2 −2x) = lim 3x 2 − lim 2x = 3 lim x 2 − 2 lim x
x→4
x→4
x→4
x→4
x→4
= 3 [lim x]2 − 2 lim x = 3 4
x→4
3.lim
x→4
x2 +9
x
=
lim x2 +9
x→4
lim x
x→4
=
x→4
lim (x2 +9)
x→4
4
1/4 [limx]2 + 9
x→4
5
= 1/4 42 + 9 = 4
2
− 2 4 = 40
= 1/4 [lim x ]2 +lim 9 =
x→4
x→4
4. lim 𝑓 𝑥 = 4 𝑑𝑎𝑛 lim 𝑔 𝑥 = 8, 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎ℎ
𝑥→3
𝑥→3
lim [𝑓 2 𝑥 .
3
𝑔 𝑥 ]
lim [𝑓 2 𝑥 .
3
𝑔 𝑥 ] = lim 𝑓 2 (x). lim
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
3
𝑔(𝑥)
= [lim 𝑓(𝑥)]2 . 3 lim 𝑔(𝑥)
𝑥→3
3
[4]2 .
=
= 32
𝑥→3
8
Jika f(x) fungsi polynomial atau fungsi rasional
maka:
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
7𝑥 5 −10𝑥 4 −13𝑥+6
lim
3𝑥 2 −6𝑥−8
𝑥→2
𝑥−1
= lim
𝑥−1
𝑥→1
𝑥→1
o lim
 Carilah
=
7.25 −10.24 −13.2+6
11
=3.22− 6.2−8
2
𝑥−1
𝑥+1
𝑥−1
𝑥 2 +3𝑥−10
lim 2
𝑥→1 𝑥 +𝑥−6
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 = 1+1=2
Limit di Tak hingga
Fungsi g(x) =
𝑥
(1+𝑥 2 )
Ketika x semakin besar?
lim g x .
t→∞
X
∞ : bahwa x semakin membesar tanpa batas.
x
𝑥
(1 + 𝑥 2 )
10
0.099
100
0.010
1000
0.001
10000
0.0001
∞
g(x) semakin kecil
semakin besar.
x
lim
x→∞ 1+x2
x
x→−∞ 1+x2
lim
?
=0
=0
ketika
x
x
lim
x→∞ 1+x2
Soal:
2𝑥 3
lim
x→∞ 1+𝑥 3
= lim
x→∞
𝑥
𝑥2
1+𝑥2
𝑥2
= lim
1
𝑥
1
x→∞ 2 +1
𝑥
1
x→∞𝑥
1
x→∞ lim 2 + lim 1
x→∞𝑥
x→∞
= lim
lim
=
0
=0
0+1
Limit Barisan
o Daerah asal beberapa fungsi adalah himpunan
bilangan asli {1,2,3…}.
o an ketimbang a(n), untuk menyatakan suku ke-n
atau {an }.
o Barisan oleh an = n/(n+1)
o Ketika n menjadi besar :
a1 =½, a2 =2/3, a3 =¾, a4 =4/5,…. a100 = 100/101,…
o Nilainya mendekati 1, sehingga lim an = 1
o lim
n→∞
n+1
n+1 1/2
= lim
=
n+2 n→∞ n+2
n→∞
n/n+1/n 1/2
lim
=
n/n+2/n
n→∞
1+0 1/2
=1
1+0
Limit Tak-Hingga
lim 𝑓 𝑥 = ∞
𝑥→𝑐 +
F(x) dibuat sebesar yang diinginkan dengan mengambil x
cukup dekat tetapi di kanan c.
Contoh:
𝟏
𝟏
lim−
dan
lim
𝟐
𝟐
+
𝒙−𝟏
𝑥→1
𝑥→1
x
y
2
3
4
5
6
7
1
0.25
0.111111
0.0625
0.04
0.027778
𝒙−𝟏
Sehingga:
1
lim−
2 = ∞ dan lim+
𝑥→1
𝑥−1
𝑥→1
1
𝑥−1 2
=∞
x+1
x→2 x2 −5x+6
o lim+
o 1/ ∞ = 0
o 1/0 = ∞
x+1
x→2 (x−3)(x−2)
= lim+
=
2+1
(2−3)(2−2)
3
(−1)(0)
=
=- ∞
Limit melibatkan fungsi Trigonometri
lim sin t = sin c
𝑡→𝑐
lim cos t = cos c
𝑡→𝑐
lim tan t = tanc c
𝑡→𝑐
lim sec t = sec c
𝑡→𝑐
lim csc t = csc c
𝑡→𝑐