4. turunan - UIGM | Login Student

4. TURUNAN
1
4.1 Konsep Turunan
4.1.1 Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
mPQ 
f ( x )  f (c )
xc
Jika x  c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P
dgn kemiringan
Q
f(x)
f(x)-f(c)
f(c)
P
x-c
c
x
f(x)  f(c)
m  lim
x c
xc
2
•
b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya
setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan
saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Perubahan waktu
Perubahan
posisi
c
f(c)
c+h
f(c+h)
s
•
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
vrata  rata 
f (c  h )  f (c )
h
3
Jika h
0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
v  lim v rata  rata  lim
h0
h 0
f (c  h)  f (c )
h
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
f(x)  f(c)
v  lim
x c
xc
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan
sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema,
yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi f ' (c ) didefinisikan
sebagai berikut:
bila limit diatas ada
f(x)  f(c)
f ' (c)  lim
x c
xc
4
Notasi lain :
df (c)
, y' (c)
dx
Contoh : Diketahui
f'( 3 )  lim
x 3
f( x)
1
x
tentukan f ' (3)
f(x)  f( 3 )

x3
lim
x 
3
1
1

x
3
x  3
 ( x  3)
3 x
 lim
 lim
x  3 3 x(x  3 )
x  3 3 x(x  3 )
1
1
 lim
 
x 3 3 x
9
5
4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ' ( c )  lim
xc
f ( x )  f (c )
xc
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ' (c)  lim
x c
f(x)  f(c)
xc
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau
ada, jika
f ' ( c )  f ' ( c ) dan f ' ( c )  f _' ( c )  f ' ( c )
f ' (c )
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
6
Contoh : Diketahui
x2  x  3 , x  1
f ( x)  
1  2 x , x  1
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1
Jika ya, tentukan f ' (1)
Jawab :
a.
f ' (1) 
f ( x )  f (1)
lim
x 1
x1
x2  x
 lim
x1 x  1
b.
f ( x )  f (1)
x 1
x1
f ' (1)  lim
 lim
2
x1
Jadi, f diferensiabel di x=1.
x 2  x  3  (1  2 1 )
 lim
x 1
x 1
x( x  1 )
1
x 1
x1
 lim
1  2 x  (1  2 1 )
x 1
x 1
 lim
x 1
x  2  2 lim
1
x1 ( x 1)( x 1)
x 1
dan f ' (1)  1 .
7
– Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
– Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
lim f ( x )  f ( c )
xc
– Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka
belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
8
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0
tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab
Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
x , x0
f ( x) | x | 
 x , x  0


f(0) = 0
lim f ( x )  lim x  0
x 0
x 0
lim f ( x )  lim (  x )  0
x 0

lim f ( x)  0
x 0
x 0
lim f ( x )  f ( 0 )
x 0
f kontinu di x=0
9
Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0
f ' ( 0 ) 
f ( x) f (0)
x  0
x
lim
 lim
 lim
 1

x0
x
x 0
x 0 x
x0
f ' ( 0 )  lim
x 0
x 0
x
f ( x ) f (0)
 lim
 lim
 1.
x 0 x
x 0 x
x0
Karena  1  f ' ( 0 )  f ' ( 0 )  1
maka f tidak diferensiabel di 0.
10
Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut
diferensiabel di x=1 ;
x2  b , x  1
f ( x)  
 ax , x  1
Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah
a. f kontinu di x = 1
b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau
f (1)  lim f ( x)  lim f ( x).
x 1
x 1
lim x 2  b  lim ax  1  b  a  b  a  1
x 1
x 1
11
2
x
 b  a
f (x)  f (1)  lim
'
f(1)  lim
x 1
x1
x1
x 1
x2  ( a 1) a
 lim
x 1
x1
x2 1
 lim
x 1 x  1
( x  1 )( x  1 )
 lim x  1  2
x 1
x 1
x 1
 lim
f (x)  f (1)
f (1)  lim
x1
x1
'

ax  a
x1 x  1
 lim
x 1
 a
x1 x  1
 a lim
f ' (1)  f ' (1)  a  2
Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.
12
Soal Latihan
Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel
di titik yang diberikan.
 ax  b ; x  2
f (x)   2
2 x  1 ; x  2
,
 x 2  1 ; x  3
2. f ( x )  
2 ax  b ; x  3
,
1.
3.
a x  3 ;0  x  1
f (x)   2
 x  bx ; x  1
x=2
x=3
,x=1
13
4.2 Aturan Pencarian Turunan
•
aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka
2.
f ' ( x)  0
 
d xr
r 1

r
x
; r R
3.
dx
d  f(x)  g(x) 
 f ' (x)  g ' (x)
dx
4.
d  f ( x) g ( x)
 f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
dx
5.
d f ( x) g ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)

dx
g 2 ( x)
dengan g(x)  0.
14
Contoh
1. Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f ( x)  x 3  3 x 2  4
f ' ( x)  3 x 2  3.2 x  0  3 x 2  6 x
f ( x)  ( x 3  1)( x 2  2 x  3)
2. Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f ' ( x)  3x 2 ( x 2  2 x  3)  ( x 3  1)(2 x  2)
 3x 4  6 x 3  9 x 2  2 x 4  2 x 3  2 x  2
 5x 4  8x3  9 x 2  2 x  2
3.Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f' ( x ) 
1.( x 2  1 )  2 x( x  3 )
( x 2 1)2
f ( x) 

x3
x2  1
x 2  1  6x  2x 2
( x 2  1 )2

 x2  6x 1
.
( x 2  1) 2
15
Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari
1.
2.
f ( x)  x 1 / 2  3 x 2  1
f ( x)  ( x  1) ( x 3  2 x  1)
3.
f ( x) 
x 1
x 1
4.
f ( x) 
x
x2 1
5.
x2 1
f ( x)  2
x 1
16
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
a. f ( x )  sin x  f ' ( x )  cos x
b. f ( x )  cos x  f ' ( x )   sin x
17
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
d tan x  d sin x cos x   cos 2 x  sin 2 x
c.

2
cos
x
dx
dx

d cot x  d cos x sin x 
 sin 2 x  cos 2 x

d.

dx
dx
sin 2 x
1

sin 2 x
d sec x  d  1cos x   sin x
e.

cos 2 x
dx
dx

sin x 1
cos x cos x
d csc x  d  1sin x    cos x   cos x 1
f.

2
sin
x
sin x sin x
dx
dx
1
cos 2 x
 sec 2 x
  csc 2 x
 tan x sec x
 csc x cot x
18
4.4 Aturan Rantai
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dy dan du ada , maka
du
dx
dy dy du
dx

du dx
dy
dx
2
Contoh : Tentukan
dari y  sin( x  1)
Jawab :
Misal u  x 2  1 sehingga bentuk diatas menjadi
Karena
dy
 cos u
du
dan
y  sin u
du
 2x
dx
maka
dy
 cos( x 2  1) 2 x  2 x cos( x 2  1)
dx
19
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dy du dv
, ,
Ada, maka
du dv dx
dy dy du dv

dx du dv dx
Contoh : Tentukan
Jawab :
Misal
dy
dx
4
3
dari y  Sin ( x  5)
3
v  x 5
u = Sin v
y  u4
sehingga



dv
 3x2
dx
du
 cos v  cos( x 3  5)
dv
dy
 4 u 3  4 Sin 3 ( x 3  5)
du
dy dy du dv

. .  12 x 2 Sin 3 ( x 3  5) Cos ( x 3  5)
dx du dv dx
20
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
•
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f
•
(n)
d
( x) 
f
dx

( n  1)
Turunan kedua
•
Turunan ketiga
•
Turunan ke-n
•
Contoh : Tentukan
•
Jawab :

df  x 
f ' (x ) 
dx
Turunan pertama
•
( x)
d 2 f x 
f " ( x) 
dx 2
d 3 f x
f " ' ( x) 
3
dx
n
f
d f x 
dx n
3
dari
y

4
x
 sin x
y' '
n 
( x) 
y '  12 x 2  cos x
maka y' '  24 x  sin x
21
Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama menggunakan aturan
rantai dari
1.
2.
3.
4.
5.

y  cos 4 4 x 2  x

y   2 x  310
y  sin 3 x
 x  1
y

 x 1
2
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
22
Soal Latihan
A. Tentukan turunan kedua dari
1.
y  sin  2 x  1
2.
y   2 x  3 4
3.
x
y
x 1
2
B. Tentukan nilai a, b dan c dari g ( x )  ax  b x  c bila g (1) = 5,
g ' (1)  3 dan g ' ' (1)  4
23