Limit Fungsi

a home base to excellence
Mata Kuliah
Kode
SKS
: Kalkulus
: TSP – 102
: 3 SKS
Limit Fungsi
Pertemuan - 2
a home base to excellence
• TIU :
 Mahasiswa dapat memahami limit fungsi
• TIK :
 Mahasiswa mampu menyelesaikan limit fungsi
 Mahasiswa mampu menghitung limit pada tak berhingga dan limit tak
hingga
 Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi kontinu
 Mahasiswa mampu menentukan kekontinuan fungsi
a home base to excellence
• Sub Pokok Bahasan :
 Pendahuluan Limit
 Teorema Limit
 Limit Pada Tak Hingga
 Limit Tak Hingga
 Kekontinuan Fungsi
 Limit Fungsi
• Tinjau fungsi yang ditentukan
oleh :
x3  1
f x  
x 1
• Fungsi tidak terdefinisi pada
x=1
• Tapi apa yang terjadi jika x
dibuat mendekati 1 ?
lim f x   L berarti bahwa bilamana x dekat
x c
tetapi tidak sama dengan c, maka f(x) dekat ke L
 Limit Fungsi
• Contoh-contoh : tentukan nilai limit berikut
x2  x  6
lim
x 3
x 3
lim (4 x  5)
x 3
lim
x 1
x 1
x 1
• Definisi formal limit :
lim f x  L , berarti bahwa untuk tiap e > 0 (betapapun kecilnya), terdapat
x c
d > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga │f(x) – L│ < e, asalkan bahwa
0 < │x – c│< d, atau dikatakan :
x cukup dekat
dengan c
0 < │x – c│ < d → │f(x) – L│ < e
e & d adalah bilangan positif kecil
f(x) berbeda
dari L sebesar
lebih kecil dari e
 Limit Fungsi
Untuk setiap e > 0
Terdapat d > sede ikia sehi gga
< │x – c│< d
→
│f(x) – L│ < e
 Limit Fungsi
• Contoh-contoh : buktikan dengan Teorema Limit
lim (3x  7)  5
x4
2 x 2  3x  2
lim
5
x2
x2
 Limit Kiri dan Limit Kanan
lim f ( x)  L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan c,
x c
maka f(x) dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa lim f ( x)  L , berarti
x c
bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke L.
Dalam hal ini lim f x  tidak ada,
x2
tapi dapat dituliskan :
lim f x   2 lim f x   1
x2
x2
Teorema
lim f x   L jika dan hanya jika lim f x   L dan lim f x   L
x c
x c 
x c 

Concept Review :
f x   L , berarti bahwa f(x
1. lim
e jadi dekat ke ….. ila a a x menjadi
x c
ukup dekat ke tetapi tidak sa a de ga …..
f  x   L , berarti bahwa f(x
2. lim
e jadi dekat ke ….. ila a a x
x c
mendekati c dari …..
f  x   L da lim f  x   L , aka …...
3. Jika lim
x c
x c
4. Ketaksa aa │f(x) – L│ < e , setara de ga … < f(x < …
f x   L
5. Makna yang tepat dari lim
adalah : Diberikan sembarang
xa
bilangan positif e, terdapat suatu bilangan positif d yang berpadanan
sede ikia rupa sehi gga ….. e gi plikasika …..
6. Agar yaki ahwa │3x – 3│ < e, kita seharusnya mensyaratkan bahwa
│x – │ < ……




Latihan Soal
• Problem Set 1.1 No. 1 – 18
• Problem Set 1.2 No. 11 - 22
Teorema Utama Limit
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi
yang mempunyai limit di c, maka :
1. lim k  k ;
2. lim x  c
x c
Contoh-Contoh :
carilah nilai limitnya
x c
3. lim kf ( x)  k lim f ( x)
x c
x c
4. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
lim 2 x 4
5. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
lim 3 x 2  2 x
x c
x c
x c
x c
x c
x c
6. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x c
x c
7. lim
x c
f ( x)
f ( x) lim
 x c
g ( x) lim g ( x)

x c
8. lim f ( x)  lim f ( x)
n
x c
x c
x c

n
9. lim n f ( x)  n lim f ( x)
x c
x c
x3
x4

x2  9
lim
x4
x

 Teorema Substitusi
f ( x )  f (c )
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim
x c
Asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol
Contoh : hitung nilai limitnya
7 x 5  10 x 4  13x  6
1. lim
x 2
3x 2  6 x  8
t 2  3t  10
2. lim 2
t 2 t  t  6
Fungsi polinom f, mempunyai bentuk :
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinom
f x  
an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
bm x m  bm 1 x m 1  ...  b1 x  b0
 Limit Fungsi Trigonometri
1. lim sin t  sin c;
x c
2. lim cos t  cos c
x c
3. lim tan t  tan c;
t c
4. lim cot t  cot c
t c
5. lim sec t  sec c;
t c
6. lim csc t  csc c
t c
sin t
1
t 0
t
1  cos t
8. lim
0
t 0
t
7. lim
Contoh-Contoh :
carilah nilai limitnya
t 2 cos t
lim
t 0 t  1
sin 3 x
x 0
x
1  cos t
lim
t 0
sin t
sin 4 x
lim
x 0 tan x
lim
Problem Set 1.3 No. 1 – 24
Problem Set 1.4 No. 1 – 14
 Limit Pada Tak Berhingga
Limit x →∞
Misalkan f didefinisikan pada [c,∞) untuk beberapa bilangan c. Kita mengatakan
f  x   L , jika untuk setiap e > 0 terdapat bilangan yang berkaitan M
bahwa lim
x 
sedemikian sehingga
x > M → │f(x) – L│< e
 Limit Pada Tak Berhingga
Limit x → − ∞
Misalkan f didefinisikan pada (−∞, c] untuk beberapa bilangan c. Kita mengatakan
f x   L , jika untuk setiap e > 0 terdapat bilangan yang berkaitan M
bahwa xlim
 
sedemikian sehingga
x < M → │f(x) – L│< e
1
1
lim k  0 lim k  0
x   x
x  x
x
lim
 ??
x  1  x 2
2 x3
lim
 ??
3
x   1  x
 Limit Tak Berhingga
Tinjau grafik f(x) = 1/(x – 2).
Contoh-Contoh :
carilah nilai limitnya
1
2
x 1  x  1
1
lim
2
x 1  x  1
x 1
lim 2
x2 x  5 x  6
lim
1
 
x2 x  2
1
lim

x2 x  2
lim
lim f  x    , jika untuk setiap bilangan positif M terdapat sebuah d > 0 sedemikian
x c 
rupa sehingga : 0 < x – c < d → f(x) > M
Problem Set 1.5 No. 1 – 23 ; Tugas No : 7, 9, 11, 13, 15
 Kekontinuan Fungsi
Apabila f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, maka kita
f  x   f c 
menyatakan bahwa f kontinu di c jika lim
x c
Dengan kata lain, suatu fungsi kontinu apabila terpenuhi 3 hal berikut ini :
lim f  x  ada
o
xc
o
f(c) ada (yakni c berada dalam domain f)
f  x   f c 
o
dan lim
x c
lim f x  tidak ada
xc
lim f x  ada
xc
lim f  x   f c 
x c
lim f x   f c 
x c
 Kekontinuan Fungsi
Contoh :
Andaikan f(x) = (x2 – 4)/(x – 2), x ≠2. Bagaimana seharusnya f
didefinisikan di x = 2 agar kontinu di titik itu?
 Kekontinuan Fungsi
Teorema A (Kekontinuan Fungsi Polinomial dan Rasional)
Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi rasional kontinu di setiap
bilangan real c dalam domainnya, kecuali pada titik yang membuat penyebut
menjadi nol
Teorema B (Kekontinuan Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-n)
Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar
ke-n kontinu di setiap bilangan real c; jika n genap, fungsi ini kontinu di setiap
bilangan real positif c.
 Kekontinuan Fungsi
Teorema C
Jika f dan g kontinu, maka demikian pula halnya dengan kf, f+g, f – g, f∙g, f/g (asalkan
g(c)≠0), fn dan n√f (asalkan f(c) > 0 jika n genap)
Contoh :
Pada bilangan-bilangan berapa saja F(x) berikut kontinu
F x  
3 x  x2
x 3 x
Teorema D
Fungsi sinus dan cosinus adalah kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi tan x, cot x,
sec x, dan csc x kontinu di setiap bilangan real c dalam domainnya
 Kekontinuan Fungsi
Teorema E (Teorema Limit Komposisi)
Jika lim g  x   L , dan jika f kontinu di L, maka
x c


lim f  g x   f lim g  x   f L 
x c
x c
Khususnya jika g kontinu di g(c), maka fungsi komposisi f◦g kontinu di c.
Contoh :
• Perlihatkan bahwa h(x = │x2 – 3x + 6│ ko ti u di setiap
bilangan real
• Perlihatkan bahwa g(x) kontinu kecuali di 3 dan –2
x 4  3x  1
g  x   sin 2
x  x6
 Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan Pada Interval
f  x   f a  , dan kontinu dari kiri di b
Fungsi f adalah kontinu dari kanan di a, jika xlim
a
f  x   f b 
jika xlim
b


Kita katakan f kontinu pada suatu interval terbuka jika f kontinu pada tiap titik di
interval itu. Fungsi f kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b) dan
kontinu dari kanan di a serta kontinu dari kiri di b
Contoh :
• Dengan menggunakan definisi di atas, uraikan sifat kekontinuan dari fungsi dari
grafik berikut.
 Kekontinuan Fungsi
Teorema F (Teorema Nilai Antara)
Jika f kontinu pada [a,b] dan jika W sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), maka
terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = W
Tak kontinu, sifat nilai
antara tidak berlaku
Problem Set 1.6 No. 1 - 15
Tak kontinu, meskipun
sifat nilai antara berlaku