Misalkan kontinu pada semua x bilangan real, didefinisikan 1. Jika

Misalkan y  f ( x ) kontinu pada semua x bilangan real, didefinisikan
y '  f '( x ) 
dy
f ( x  h)  f ( x )
 lim
h

0
dx
h
1.
Jika f ( x )  u( x ).v ( x ) , yaitu u dan v adalah fungsi dari x maka
2.
Jika f ( x )  A ( x ) , yaitu A adalah fungsi dari x dan n ≥ 2 maka
f '( x )  u '( x ).v ( x )  u( x ).v '( x )
n
f '( x )  n.An 1( x ).A '( x )
Bukti
1.
Diketahui f ( x )  u( x ).v ( x ) . Sesuai definisi, diperoleh
f ( x  h)  f ( x )
h
u( x  h ).v ( x  h )  u( x ).v ( x )
 lim
h 0
h
u( x  h ).v ( x  h )  u( x ).v ( x )  u( x ).v ( x  h )  u( x ).v ( x  h )
 lim
h 0
h
u( x  h )  u( x ).v ( x  h )  u( x ).v ( x  h)  v ( x )
 lim
h 0
h
u( x  h )  u( x )
v ( x  h)  v ( x )
 lim
v ( x  h )  u( x ).lim
h 0
h 0
h
h
 u '( x ).v ( x  0)  u( x ).v '( x )
f '( x )  lim
h 0
 u '( x ).v ( x )  u( x ).v '( x )
2.
Diketahui f ( x )  An ( x ) , untuk n ≥ 2 akan dibuktikan bahwa
f '( x )  n.An 1( x ).A '( x )
dengan menggunakan induksi matematika, yaitu:
1) Untuk n = 2,
f ( x )  A2 ( x )  A( x ).A( x )
Dengan menggunakan hasil pada bagian 1 (di atas) diperoleh
f '( x )  A '( x ).A( x )  A( x ).A '( x )  2 A( x ).A '( x )  2 A21( x ).A '( x )
Jadi, pernyataan berlaku untuk n = 2.
2) Asumsikan pernyataan berlaku untuk n = k, yaitu jika f ( x )  Ak ( x ) maka
f '( x )  k.Ak 1( x ).A '( x )
3) Untuk n = k + 1, yaitu f ( x )  Ak 1( x ) .
Akan dibuktikan bahwa f '( x )  (k  1).Ak ( x ).A '( x ) sebagai berikut:
f ( x )  Ak 1( x )  Ak ( x ).A( x )
Sebut g ( x )  Ak ( x ) . Jadi, f ( x )  g ( x ).A( x ) . Dengan menggunakan hasil pada
bagian 1 (di atas), diperoleh:
f '( x )  g '( x ).A( x )  g ( x ).A '( x )
Karena g ( x )  A ( x ) , berdasarkan asumsi pada poin 2), maka
k
g '( x )  k.Ak 1( x ).A '( x )
Substitusikan hasil ini ke f '( x ) , diperoleh
f '( x )  G '( x ).A( x )  G( x ).A '( x )
 k.Ak 1( x ).A '( x ).A( x )  Ak ( x ).A '( x )
 k.Ak ( x ).A '( x )  Ak ( x ).A '( x )
  k  1 .Ak ( x ).A '( x )
Jadi terbukti pernyataan berlaku untuk n  k  1 .
Dari hasil pada 1), 2), dan 3) disimpulkan bahwa pernyataan berlaku untuk
semua bilangan asli n ≥ 2.