Document

Matematika Ekonomi 2
Limit dan Kesinambungan
Ratih Kurniasih, SP., MSc
Pengertian Aljabar Kalkulus
Aljabar kalkulus, yang berintikan teori tentang
Differensiasi dan Integrasi, berhubungan
dengan perubahan – perubahan sangat kecil
dalam variabel- variabel sebuah fungsi.
Fungsi Kalkulus
Ekonomi
dalam
Bidang
Dewasa ini kalkulus semakin meluas
dimanfaatkan oleh berbagai bidang atau ilmu
pengetahuan, termasuk ilmu ekonomi.
Mengingat analisis dalam bisnis dan ekonomi
selalu berhubungan, kalkulus memainkan
peranan penting sebagai salah satu alat
analisisnya.
Kalkulus
berkenaan
dengan
analisa
matematis mengenai perubahan dan gerakan
Dalam
ekonomi
dan
bisnis
selalu
berhadapan dengan gerak dan perubahan
Aplikasi dalam Bidang Ekonomi dan
Bisnis
Analisis marjinal  margin (batas tepi), ex:
keuntungan yang sangat kecil sekali
Analisis maksimal dan minimal
Programasi matematik  programasi garis
merupakan
diferensial
penerapan
dari
kalkulus
LIMIT

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang apabila variabel di dalam fungsi yang
bersangkutan terus menerus berkembang mendekati
suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati K
manakala variabel x mendekati a, maka K disebut limit
fungsi f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini
dilambangkan dengan notasi :
lim f(x)  K
x a

Dan dibaca “ limit f(x) bila mendekati a adalah K”. Artinya
jika variable x berkembang secara terus menerus hingga
mendekati bilangan tertentu
PENGERTIAN LIMIT
𝑓
𝑥 =
f −1 =
X
-1
0
1
2
3
Y
0
1
Ø
3
4
𝑥 2 −1
𝑥−1
1−1
−1−1
0
=
−2
4
=0
3
2
Dst...
1
-1
2
3
Dengan limit.....
lim 𝑥 2 −1

=2
𝑥 → 1 x−1
lim 𝑥 2 −1
lim 𝑥+1 −(𝑥−1)

=
x−1
𝑥→1
𝑥 → 1 (𝑥−1)
lim
=
𝑥+1=1+1=2
𝑥→1
Nilai Tentu dan Tak Tentu dalam Limit
Nilai Tentu  boleh
𝑎

𝑏
0

𝑘
𝑘

0
𝑘

~
~

𝑘
=𝑘
=0
=~
=0
=~
~ + ~
 (~)𝑘 =
=~
~
𝑘 ~ = ~
Nilai Tak Tentu  tidak boleh
0

0
 00
~

~
~
−~
Latihan
lim 𝑥 2 −2𝑥
1.
= …
𝑥 → 3 x−3
lim 𝑥−5
2.
= …
𝑥 → 5 2x+1
1
lim
3.
(1 + 2 ) = …
𝑥
𝑥→0
LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)
 Limit
satu sisi (limit-kanan dan limit-kiri) adalah
ide untuk melihat apa yang terjadi terhadap
sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x
tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau
kanan).
 Limit Kanan, jika ditulis lim f ( x )  L maka
x c
mengandung arti bahwa x mendekati c dari
kanan.
f ( x )  L maka
 Limit Kiri, jika ditulis xlim
c
mengandung arti bahwa x mendekati c dari kiri.


LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah
bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut
limit kiri,
c
notasi
lim f ( x )
x c
c
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah
bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut
limit kanan,
x
notasi
lim f ( x )
x c 
Hubungan antara limit dengan limit sepihak (kiri/kanan)
lim f ( x)  L  lim f ( x)  L dan lim f ( x)  L
x c
Jika
x c
x c
lim f ( x )  lim f ( x) maka lim f ( x ) tidak ada
x c 
x c
x c
13
13
Contoh Limit Kiri dan Limit Kanan
lim
1.
𝑥 → 0+
lim
2.
𝑥 → 0−
x = 0 (x didekati dari kanan)
x tidak ada. (x didekati dari kiri)
3. Diberikan fungsi

2𝑥 − 1,
𝑓 𝑥 = 3
𝑥 ,
𝑥<1
𝑥>1
Karena untuk x<1 adalah fungsi f(x)=2x-1, maka
lim
lim
𝑓
𝑥
=
2𝑥 − 1 = 1
𝑥 → 1−
𝑥 → 1−
lim
lim
3= 1
Untuk x>1, digunakan fungsi
=
𝑥
𝑥 → 1+ 𝑥 → 1+
Selanjutnya, karena nilai
lim
lim
𝑓
𝑥
=
1
=
𝑓 𝑥 =1
−
+
𝑥→1
𝑥→1
KAIDAH KAIDAH LIMIT
1. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.
lim k  k
x a
33
Contoh : lim
x 2
2. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah
jumlah (selisih) dari limit fungsi-fungsinya.
lim {f(x)  g(x)}  lim f(x)  lim g(x)
x a
x a
x a
lim {(1 - 2x 2 )  (x 3 )}  lim (1 - 2x 2 )  lim (x 3 )
x 2
x 2
x 2
 (1 - 2.2 2 )  (2 3 )  - 7  8  1
3. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian
dari limit fungsi-fungsinya
lim {f(x) . g(x)}  lim f(x) . lim g(x)
x a
x a
x a
lim {(1 - 2x 2 ) (x 3 )}  lim (1 - 2x 2 ) . lim (x 3 )  (-7)(8)  - 56
x 2
x 2
x 2
4. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian
dari limit fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi
pembaginya tidak sama dengan nol
f(x)
f(x) lim
x a
lim

x a g(x)
lim g(x)
g(x)  0
dengan syarat lim
x a
x a
lim (x 2 - 25)
(x 2 - 25)
lim
 x 5
x 5 (x - 5)
lim (x - 5)
x 5

lim (x - 5)(x  5)
x 5
lim (x - 5)
x 5
 lim (x  5)  10
x 5
n
n
lim
x

a
5. Jika y = f(x) = x dan n > 0, maka xa
n
3
3
lim
x

2
8
Contoh : x2
6.Jika,
lim k. f ( x)
x a
maka
k. lim f ( x)
x a
7. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah
pangkat n dari limit fungsinya
lim {f(x)} n  { lim f(x) }n
x a
x a
lim (1 - 2x 2 ) 3  { lim (1 - 2x 2 )}3  (-7)3  343
x 2
x 2
8. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif
adalah akar dari limit fungsinya.
lim {n f(x) }  n lim f(x) n  0
x a
lim
x 5
3
x a
(x 3 - x  56)  3 lim (x 3 - x  56)  3 64  4
x 5
Limit Aljabar
 Limit fungsi x  a
1. Substitusi langsung  hasil tentu => selesai
2. Pemfaktoran  persamaan kuadrat
3. Perkalian sekawan  bentuk akar
Contoh:
lim 3𝑥 2 −4𝑥
1.
= …
𝑥 → 0 x+4
lim 𝑥 2 −𝑥−12
2.
= …
2 −9
𝑥
𝑥 → −3
lim
3.
𝑥→2
𝑥 2 −4
𝑥+7 −3
= …
Limit Tak Hingga
Limit fungsi x  ∞ , dimana:
1
1. lim  , untuk x  0
x 0 x
1
2. lim  , untuk x  0
x 0 x
1
3. lim  0
5. lim x  
x  x
x 
1
4. lim  0
6. lim x  
x   x
x  
Dimana
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
lim 2𝑥 3 +4𝑥 2 +6𝑥−1
lim
1.
=
𝑥 → ∞ 2𝑥 2 −4x+3
𝑥→∞
= .........
𝑘
Ingat..... = 0
∞
𝑘
=∞
0
2𝑥3 4𝑥2 6𝑥 1
+ 3 + 3− 3
𝑥3
𝑥
𝑥
𝑥
2
2𝑥
4𝑥 3
−
+
𝑥3 𝑥3 𝑥3
5𝑥 3 +𝑥 2
lim
2.
= ...
4
2
𝑥 → ∞ 2𝑥 −4𝑥 +3𝑥
lim 3𝑥 3 +2𝑥 2 −5
3.
3 +5𝑥 2 = ...
2𝑥
𝑥→∞
Cara Cepat !!!
𝒎 + 𝑏𝑥 𝑚−1 + ⋯
𝑎𝑥
lim
=
𝒏
𝑛−1
𝑥 → ∞ 𝑝𝑥 + q𝑥
+⋯
m > n  ∞
m < n  0
𝑎
m = n 
𝑝
Dimana
𝒍𝒊𝒎
(
𝒙→∞
𝒇(𝒙) - 𝒈(𝒙)
𝒍𝒊𝒎
( 3𝑥 2 + 4𝑥 − 1 - 𝑥 2 + 6𝑥 + 2 ) =
𝒙→∞
3𝑥 2 +4𝑥−1 +
𝒍𝒊𝒎
2
2
=
3𝑥 + 4𝑥 − 1 - 𝑥 + 6𝑥 + 2 x
3𝑥 2 +4𝑥−1 +
𝒙→∞
𝒍𝒊𝒎 (3𝑥 2 +4𝑥−1) −(𝑥 2 +6𝑥+2)
=
𝒙 → ∞ 3𝑥 2 +4𝑥−1 + 𝑥 2 +6𝑥+2
1.
𝒍𝒊𝒎
=
𝒙→∞
𝑥 (bawah) 
4
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝑥 2 +6𝑥+2
𝑥 2 +6𝑥+2
2𝑥 2 −2𝑥−3
(dibagi dg 𝑥 2 (atas) dan dibagi dg
2
2
3𝑥 +4𝑥−1 + 𝑥 +6𝑥+2
3𝑥 2
𝑥2
=
3𝑥 2
𝑥4
2𝑥2
𝑥2
=
3𝑥 2
𝑥4
− 𝑥2𝑥2 − 𝑥32
3𝑥2 4𝑥 1
𝑥2 6𝑥 2
+ − + 4+ 4+ 4
𝑥4 𝑥4 𝑥4
𝑥
𝑥
𝑥
2
0
= ..... = = ∞
Cara Cepat!!!
𝒍𝒊𝒎
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 - 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟
𝒙→∞
Maka:
a>p∞
a<p-∞
𝑏−𝑞
a=p
2 𝑎
Contoh:
𝒍𝒊𝒎
1.
𝒙→∞
𝑥 2 + 4𝑥 − 1 - 𝑥 2 + 8𝑥 + 5 =
a = 1, b = 4, c = -1
p = 1, q = 8, r = 5
Jawab:
𝑏−𝑞
4−8 −4
a=p
=
= = −2
2 𝑎
2 1
2
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
f ( x) ada
(ii) lim
x a
f ( x)  f (a)
(iii) lim
xa
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi
maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
(i)
º
a
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
(ii)
L2
L1
a
Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit
di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
f(a)
●
L
º
a
f(a) ada
lim f ( x) ada
x a
Tapi nilai fungsi tidak sama
dengan limit fungsi
lim f ( x )  f (a )
x a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
f(a) ada
(iv)
lim f ( x ) ada
x a
f(a)
lim f ( x)  f (a )
xa
a
f(x) kontinu di x=2
º
a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa
dihapus dengan cara
mendefinisikan nilai fungsi
dititik tersebut = limit fungsi
Contoh:
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak
sebutkan alasannya
x2  4
a. f ( x) 
x2
 x2  4
b. f ( x)   x  2 , x  2
 3
,x  2
 x  1, x  2
2
 x  1, x  2
c. f ( x)  
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu
di x=2
b. - f(2) = 3
x2  4
( x  2)( x  2)
lim

lim
 lim x  2  4
- x 2
x

2
x 2
x2
( x  2)
-
lim f ( x)  f (2)
x2
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
kontinu di x=2
c.
-
f (2)  2 2  1  3
lim f ( x)  lim x  1  3
x 2
x2
lim f ( x)  lim x 2  1  3
x2
-
lim f ( x)  3
x2
x2
lim f ( x)  f (2)
x2
Karena semua syarat dipenuhi  f(x) kontinu di x=2
Contoh :
Seorang pedagang besar menawarkan daging dalam kaleng
dengan harga harga sebagai berikut :
Rp. 500
Rp. 400
Rp. 350
Rp. 300
tiap kaleng untuk pembelian 20 kaleng atau kurang
tiap kaleng untuk pemesanan lebih dari 20 kaleng,
tetapi tidak lebih dari 50 kaleng
tiap kaleng untuk pemesanan lebih dari 50 kaleng,
tetapi tidak lebih dari 100 kaleng
tiap kaleng untuk pemesanan lebih dari 100 kaleng
Jawab :
Jika y menyatakan jumlah harga dan x menyatakan jumlah
kaleng, maka fungsi harga dapat dirumuskan sebagai
berikut :
Y=
500 x
400 x
350 x
300 x
0 < x ≤ 20
20 < x ≤ 50
50 < x ≤ 100
x > 100
Jawab :
Gambar grafik
Harga (dalam Rp. 1000)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
Jumlah kaleng
150
TERIMA KASIH