Modul 7 Limit-ok - Universitas Mercu Buana

Modul 7
LIMIT
Tujuan Instruksional Khusus:
Diharapkan mahasiswa akan lebih mudah dalam mendalami teori diferensiasi dan
integrasi yang berhubungan dengan perubahan sangat kecil dalam variabel suatu
fungsi.
1
PENDAHULUAN
Teori tentang limit sebuah fungsi merupakan “akar” dari aljabar kalkulus.
Oleh
sebab itu uraian mengenai kalkulus selalu diawali dengan bahasan tentang limit.
Dimana aljabar kalkulus yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi.
Diferensiasi
dan
integrasi
merupakandua
operasi
matematis
yang
berkebalikan, seperti halnya antara penambahan dan pengurangan atau antara
perkalian dan pembagian. Pada intinya,diferensial (teori tentang diferensiasi) berkenaan
dengan penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori tentang
integrasi) berkenaan dengan pembentukan persamaan sutau fungsi apabila tingkat
perubahan fungsi yang bersangkutan diketahui.
2
PENGERTIAN LIMIT
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila
variable didalam fungsi
yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati
suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari Y= f (x) akan dapat diketahui limit atau
batas perkembangan f(x) iniapabila variable x terus menerus berkembang hingga
mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L disebut limit fungsi f(x) untuk
x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi:
Lim f(x) = L
x→a
dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk mendekati a
adalah L”. Artinya jika variable x
berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai
‘12
1
Matematika Bisnis
Proyono, SE. ME.
Pusat Bahan Ajar dan Elearning
Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id
saling
2
2.05
1 - 2(2.05) = - 7.405
2.01
1 - 2(2.01) = - 7.0802
1.99
1 - 2(1.99) = - 6.9202
1.95
1 - 2(1.95) = - 6.605
1.90
1 - 2(1.90) = - 6.22
1.50
1 - 2(1.50) = - 3.5
1.00
1 - 2(1.00) = - 1.0
2
2
2
2
2
2
Pada contoh di atas variable x bergerak mendekati nilai-nilai positif tertentu, yakni
2 dan 3.Limit sebuah fungsi dapat pula dianalisis untuk perkembangan bagan variable
yang menuju 0, bahkan menuju + dan -. Dengan demikian,untuk setiap fungsi f(x)
kita dapat menganalisis lim f(x) untuk x→ +a , x → -a, x → 0,
x → + dan
x→-
 . Seiring dengan itu dapat terjadi (untuk x mendekati seberang nilai tertentu) lim f(x)
= +L, lim f(x) = -L, lim f(x) = 0, lim f(x) = + atau lim f(x) = -. Limit suatu fungsi hanya
mempunyai dua kemungkinan : ada (terdefinisi, tertentu; yakni jika limitnya adalah L,
atau –L, atau 0 atau + atau - atau tidak ada sama sekali (tidak terdefinisi), ada
tidak boleh tak tentu
0
atau.
Contoh:
1. lim (1- 2x2) = -7
x → -2
2. lim ( 1- 2x2) = 1
x →0
3. lim ( 1-2x2) = -
x →+
3
LIMIT SISI-KIRI DAN LIMIT SISI-KANAN
Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilah menjadi dua
bagian, tergantung pada sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya.
Apabila kita menganalisis lim f(x) dari nilai nilai x yang lebih kecil daripada a (dari
x→a
x<a), berarti kita melihatnya dari sisi kiri. Sebaliknya jika menganalisis lim f(x) dari
x→a
nilai-nilai x yang lebih besar daripada a ( x> a), berarti kita melihatnya dari sisi kanan.
http://www.mercubuana.ac.id
3
2. y = f (x) = -3/x maka
limf (x) = lim (-3/x) = +
x → 0- x → 0+
lim f(x) = lim (-3/x) = -
x→0+ x→0+
Karena lim (-3/x) lim (-3/x), maka lim (-3/x) tidak terdefinisi.
X→ 0x→ 0+
x →0
4
HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial
dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada.
Sedangkan
Kuosien diferensiy/x tak lain adalah lereng dari kurva y = f (x).
derivatif dy/dx adalah lim (y/x) untukx→0. Jikax sangat kecil, lim (y/x) =y/x
itu sendiri,dengan perkataan lain derivatif fungsi yang
x→0 bersangkutan sama
dengan kuosien diferensinya (dy/dx =y/x). jadi untuk x yang sangat kecil, derivatif
juga mencerminkan lereng dari kurva y = f(x). Uraian mengenai diferensial berikut ini
akan semakin memperjelas makna tentang derivatif, serta mempertajam pemahaman
akan ketiga konsep yang saling berkaitan: kuosien diferensi, derivatif, dan diferensial.
Notasi derivatif dy/dx sesungguhnya terdiri atas dua suku, yaitu dy dan dx. Suku
dy dinamakan diferensial dari y, sedangkan dx merupakan diferensial dari x. Diferensial
dari x (dx) mencerminkan perubahan sangat kecil pada variable bebas x.
Diferensial dari x: dx = x
Adapun diferensial dari y (dy) mencerminkan taksiran perubahan pada variable terikat y
berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variable bebas x.
Diferensial
dari variable terikat sebuah fungsi sekaligus merupakan diferensial dari fungsi yang
bersangkutan, yakni hasil kali dari derivatifnya terhadap perubahan pada variable bebas.
dy
Diferensialdari y : dy
_____ dx
dx
http://www.mercubuana.ac.id
5