PENURUNAN RUMUS EULER Pendahuluan

1
PENURUNAN RUMUS EULER
Wikaria Gazali
Abstrak :
Makalah ini membahas tentang penurunan Rumus Euler. Untuk
memperoleh model tersebut penulis menurunkan rumus Euler dari ex+iy dengan
mencari terlebih dahulu norm dan argumen dari ex+iy. Dalam penurunan ini kita
mensubstitusi norm dan argumen dari ex+iy pada bilangan kompleks dalam
koordinat polar, hingga diperoleh penurunan Rumus Euler.
Pendahuluan
Rumus Euler banyak digunakan dalam penyelesaian matematika atau kalkulus
terutama pada penyelesaian bilangan kompleks. Rumus Euler juga dipakai pada
The Exact Iterative Riemann Solver, The Approximate Riemann Solver of Roe,
The HLLE Riemann Solver. Untuk memperoleh model tersebut, maka penulis
menggunakan penurunan yang berasal dari
lim  1  x
1 +  = e . Dalam
x→∞ x
penurunan ini kita mensubstitusi norm dan argumen dari ex+iy pada bilangan
kompleks dalam koordinat polar, hingga diperoleh penurunan Rumus Euler.
Penurunan Matematika
Dalam hal ini untuk mendapatkan penurunan Rumus Euler penulis menguraikan
norm dan argumen dari ex+iy .
Terlebih dahulu kita mencari norm dari ex+iy .
lim  1  x
Kita telah mengetahui bahwa
1 +  = e ,
x→∞ x
2
lim  1  n
analog
1 +  = e ,
n→∞ n
lim  x  n
x
1 +  = e ,
n→∞ n
sehingga
atau
lim  x  n
e =
1 +  .
n→∞ n
x
Mengingat rumus di atas berlaku untuk bilangan kompleks z, maka dengan
lim  z  n
z
mensubstitusi x = z, didapat e =
1 +  ,
n→∞ n
di mana z = x + iy ( bilangan kompleks dalam koordinat Cartesius),
sehingga
e x + iy =
e
x + iy
lim  x + iy  n
1 +
 ,
n→∞
n 
lim  x 
y
=
1 +  + i 

n → ∞  n  n 
n
………………………………………(1)
Norm dari ex+iy adalah :
e
x + iy
e x + iy
e
x + iy
lim   x  2  y  2 
 1 +  +   
=
n→∞  n   n 


n
lim  2 x x 2 y 2
1 +
=
+
+
n → ∞ 
n n2 n2




1
lim   2 x x 2 + y 2
=
+
1 + 
n → ∞   n
n2



ex + iy = e
lim  2 x x2 + y 2  1
 +
( 2 n )
n → ∞ n
n2 
,
,
2
1



n
,
2n
,
3
e x + iy = e
e
x + iy
=e
lim  x 2 + y 2 
 x+

n → ∞
2 n 
lim  x 2 + y 2
 x+
n → ∞ 
2∞
lim
e
x + iy
Jadi
=e
n→∞
( x +0 )




,
,
,
e x + iy = e x …………………………………………………………………..(2)
Untuk mencari argumen dari ex+iy, terlebih dahulu kita membahas bilangan kompleks
dalam koordinat Polar z = r (cos θ + i sin θ ) , maka tg θ =
y
y
, sehingga θ = arc tg
,
x
x
dan z n = r n (cos θ + i sin θ ) n .
Di mana (cos θ + i sin θ ) n = (cos nθ + i sin nθ ) berdasarkan Teorema De Moivre,
maka z n = r n (cos nθ + i sin nθ ) , sehingga arg( z n ) = nθ , atau arg( z n ) = n arc tg
Kemudian kita menentukan argumen dari
diperoleh e
x + iy
lim  x 
y
=
1 +  + i 

n → ∞  n  n 
ex+iy, di mana dari persamaan (1) telah
n
,

y 

lim 
maka arg(e x + iy ) =
n arc tg n  ,
n→∞ 
 x
1 +  

 n



y


lim
n
x + iy

n
arg(e
)=
n arc tg
,
n→∞ 
 x n
1 +  

 n 

arg(e x + iy ) =
lim 
y 
n  arc tg
,
n→∞ 
n+ x
y
.
x
4
y 

 y
 arc tg
lim
x + iy
n
x
+


arg(e
)=
n
.
y
n→∞ 
n+x


n+x


'
1
2  
1  t 
1

1+  
arc
tg


lim
lim
1
t 
t  = lim

Karena
=
= 1,
'
1
t →∞
t →∞ 1  t →∞
1

1+ 2


 
t
t


t
 
1
maka arg(e x + iy ) =
Jadi
lim yn
y
x + iy
, atau arg(e
.
)=
n→∞ n+ x
1
arg(e x + iy ) = y ………………………………………………………….(3)
Bilangan kompleks dalam koordinat Polar
z = r (cos θ + i sin θ ) , di mana r = z dan
θ = arg( z ) , sehingga z = z [cos {arg(z )} + i sin {arg(z )}] …………………………….(4)
Ambil z = e x + iy , maka persamaan (4) akan berubah menjadi :
[ { (
)}
{ (
e x + iy = e x + iy cos arg e x + iy + i sin arg e x + iy
)}] ………………………………………(5)
Substitusi (2) dan (3) pada (5), sehingga persamaan (5) menjadi :
e x + iy = e x (cos y + i sin y ) ,
e x e iy = e x (cos y + i sin y ) ,
sehingga e iy = cos y + i sin y …………………………………………………………(6)
Substitusi y = θ pada persamaan (6), maka persamaan (6) berubah menjadi :
e iθ = cos θ + i sin θ
5
Simpulan
Pada penurunan ini telah dilakukan penurunan dengan mencari terlebih dahulu
Norm dari ex+iy , yaitu e x + iy = e x dan argumen dari ex+iy, yaitu
arg(e x + iy ) = y ,kemudian dengan mensubstitusinya pada bilangan kompleks dalam
[ { (
)}
{ (
koordinat polar , yaitu e x + iy = e x + iy cos arg e x + iy + i sin arg e x + iy
)}] .
Penurunan penurunan Rumus Euler telah diuraikan di atas dan diperoleh
penurunannya :
e iθ = cos θ + i sin θ
di mana θ = arc tg
y
.
x
Daftar Pustaka
1. Priestley, HA (1993).Pengantar Analisis Kompleks, . Terjemahan Suryanto, Penerbit
ITB, Bandung.
2. Purcell, EJ, Varberg,D (1997). Calculus. Prentice-Hall,Inc., USA.
3. Soedojo, P (1995). Matematika Fisika dan Teknik, Gadjah Mada, University Press,
Yogyakarta.
4. Spiegel, MR (1997).Kalkulus Lanjutan,. Penerbit Erlangga, Jakarta.