3 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Kompleks Sistem

3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Bilangan Kompleks
Sistem bilangan kompleks dapat dinyatakan secara formal dengan menggunakan
konsep pasangan terurut (ordered pair) bilangan riil (a,b). Himpunan semua
pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai padanya dapat
didefinisikan sebagai system bilangan kompleks (Wibisono, 1975).
Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975)
Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan besaran yang berbentuk
a  ib atau a  bi ,
dengan a dan b bilangan-bilangan riil dan i 2  1 .
Jika z  (a, b)  a  ib merupakan suatu bilangan kompleks, maka a dinamakan
bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner (imaginary part)
dari z yang secara berturut-turut dinyatakan dengan Re(z ) dan Im(z ) . Lambang
z yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan kompleks
dinamakan peubah kompleks.
4
Bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari himpunan bilangan kompleks
dengan b  0 . Jika a  0 , maka 0  ib atau ib dinamakan bilangan imajiner
murni (Spiegel, 1994).
2.2 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks
Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai
berikut:
Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008)
Jika z1  a1  ib1 dan z 2  a2  ib2 adalah bilangan kompleks, maka:
i. z1  z 2  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1  a2 )  i (b1  b2 )
ii. z1 z 2  (a1  ib1 )(a2  ib2 )  (a1a2  b1b2 )  i (a1b2  a2b1 )
Pada bilangan kompleks juga diperkenalkan suatu operasi yang disebut
kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.2.2 (Sardi, 2008)
Jika z  (a, b)  a  ib , maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z dan
didefinisikan sebagai z  (a,b)  a  ib .
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan
kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:
Teorema 2.2.3 (Sardi,2008)
i. jika z bilangan kompleks, maka
5
1. z  z
2. z z  Re( z )  Im( z )
2
2
ii. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1. z1  z2  z1  z2
2. z1 z 2  z1 z2
z
3.  1
 z2
 z1
  , z 2  0
 z2
Bukti:
i. Misalkan z  a  ib , maka z  a  ib , maka
1. z  a  ib  a  ib  z
2. z z  (a  ib)(a  ib)  a 2  b 2  Re( z )  Im( z )
2
ii. Misalkan z1  a1  ib1 dan z 2  a2  ib2 , maka
1.
z 1  z 2  ( a 1  ib 1 )  ( a 2  ib 2 )
 (a1  a 2 )  i (b1  b2 )
 (a1  a 2 )  i (b1  b2 )
 (a1  ib1 )  (a 2  ib2 )
 z1  z 2
2. z1 z 2  (a1  ib1 )(a 2  ib2 )
 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )
 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )
 (a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )
 (a1  ib1 )(a 2  ib2 )
2
■
6
 z1 z 2
z
3.  1
 z2
  a1  ib1
  
  a 2  ib2



 (a  ib1 )(a 2  ib2 ) 

  1
(
a

ib
)(
a

ib
)
2
2
2
2


 (a a  b b )  i ( a1b2  a 2 b1 ) 

  1 2 1 2 2
2

a 2  b2



(a1 a 2  b1b2 )  i ( a1b2  a 2 b1 )

(a1 a 2  b1b2 )  i (a1b2  a 2 b1 )
2
a 2  b2
2
a 2  b2
2
2

(a1  ib1 )(a 2  ib2 )
(a 2  ib2 )(a 2  ib2 )

(a1  ib1 )
(a 2  ib2 )

z1
z2
, z2  0
■
2.3 Geometri Bilangan Kompleks
Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami sebagai vektor
di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut dinamakan
sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a  ib pada bidang datar xy
dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a, b)
(Wibisono, 1975).
7
2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks
Untuk sebarang bilangan kompleks z  a  ib , modulus (nilai mutlak) dari
bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai
berikut:
Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008)
Jika z  a  ib bilangan kompleks, maka modulus dari z , ditulis z didefinisikan
sebagai z  a  ib  a 2  b 2 .
Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan riil positif atau nol. Arti
geometri
z
menyatakan panjang vektor (a, b) , yaitu jarak dari titik asal
O  (0,0) terhadap titik z  (a, b) .
Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai
mutlak dari bilangan kompleks, yaitu:
Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008)
i. jika z bilangan kompleks, maka
2
1.
z  (Re( z )) 2  (Im( z )) 2
2.
z  z
3.
z  zz
2
ii. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1.
z1 z 2  z1 z 2
8
2.
z1
z1

, z2  0
z2
z2
Bukti:
i. Misalkan z  a  ib , maka
1.
2
z 
a
2
 b2
 a
2
2
 b 2  (Re( z )) 2  (Im( z )) 2
2. z  a  ib , sehingga z  a 2  (b) 2  a 2  b 2  z
3.
2
z  a 2  b 2  (a  ib)(a  ib)  z z
■
ii. Misalkan z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1.
z1 z 2
2
2
 ( z1 z 2 )( z1 z 2 )  z1 z 2 z1 z 2  ( z1 z1 )( z 2 z 2 )  z1 z 2
Jadi, z1 z 2  z1 z 2
2.
z1
1
 z1 
, sehingga:
z2
z2
z1
z2
2
1
 z1 
z2
2

1
  z1 
z2

 z1 

1
z2

z
  1
 z2
z1 z1

z2 z2
z z
  1 1
 z2 z2
z1
2
z2
2

1
 z1 
z2












2
9
Jadi,
z1
z1

, z2  0
z2
z2
■
2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen
Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z  (a, b) dinyatakan dalam r dan 
yaitu z  (r ,  ) . Pada gambar 2.1 diperoleh hubungan sebagai berikut:
a  r cos  ; b  r sin  , dengan: r  a 2  b 2  z
 : sudut antara sumbu x positif dengan Oz .
y
z  ( a, b)
b
r

O
a
x
Gambar 2.1
Untuk z  0 , sudut  dihitung dari tan  
b
dan untuk z  0 maka r  0 dan 
a
dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks z  a  ib dapat
dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:
z  r (cos   i sin  )
Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008)
Diberikan bilangan kompleks z  r (cos   i sin  ) . Sudut  disebut argumen dari
z , ditulis   arg z . Sudut  dengan 0    2 atau       disebut
10
argumen utama dari z , ditulis   arg z . Pembahasan untuk a  r cos  tersebut
dipilih salah satu saja.
Dengan menggunakan rumus Euler
e i  cos   i sin  ,
maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi
z  r (cos   i sin  )  re i
Penulisan z  re i merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z .
Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari z adalah:
z  r (cos   i sin  )
 r (cos( )  i sin(  ))
 re  i
2.4 Limit Fungsi Kompleks
Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks f (z ) ditulis sebagai
berikut:
Definisi 2.4.1 (Sardi, 2008)
Diberikan fungsi f : C  C dan misalkan fungsi w  f (z ) terdefinisi pada
daerah D kecuali di z 0 (titik z 0 di dalam D atau batas D). Limit dari f (z )
adalah w0 untuk z menuju z 0 , jika untuk setiap   0 terdapat   0 sehingga
f ( z )  w0   , apabila 0  z  z 0   ditulis lim f ( z )  w0 .
z  z0
11
Teorema 2.4.2 (Saff, 2003)
Diketahui lim f ( z )  A dan lim g ( z )  B , maka
z  z0
z  z0
1. lim  f ( z )  g ( z )   lim f ( z )  lim g ( z )  A  B
z  z0
z  z0
z  z0
2. lim  f ( z )  g ( z )   lim f ( z )  lim g ( z )  A  B
z  z0
z  z0
z  z0
3. lim f ( z ) g ( z )  lim f ( z )  lim g ( z )  AB
z  z0
4. lim
z  z0
z  z0
z  z0
f ( z) A
f ( z ) zlim
z
 0
 , jika B  0
g ( z ) lim g ( z ) B
z  z0
Bukti:
1. Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

2
adalah positif.
Karena lim f ( z )  A , maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian
z  z0
sehingga
0  z  z0  1  f ( z )  A 

2
Karena lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  2 sedemikian
z  z0
sehingga
0  z  z0   2  g ( z)  B 

2
Pilih   min{ 1 ,  2 } ; yaitu pilih  sebagai yang terkecil di antara  1 dan
 2 , maka 0  z  z 0   menunjukkan
f ( z )  g ( z )  ( A  B)  ( f ( z )  A)  ( g ( z )  B)
 f ( z)  A  g ( z)  B
12


2


2

Jadi, lim  f ( z )  g ( z )   A  B  lim f ( z )  lim g ( z )
z  z0
z  z0
z  z0
2. Berdasarkan bukti 1, maka dapat ditunjukkan
lim  f ( z )  g ( z )   lim  f ( z )  (1) g ( z ) 
z  z0
z  z0
 lim f ( z )  lim (1) g ( z )
z  z0
z  z0
dengan sifat bahwa lim kg ( z )  k lim g ( z ) ; k konstanta yang dapat
z  z0
z  z0
dibuktikan sebagai berikut:
Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

k 1
adalah
positif.
Karena lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  1 sedemikian
z  z0
sehingga
0  z  z0  1  g ( z )  B 

k 1
Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0  z  z 0  
yang menunjukkan
kg ( z )  kB  k ( g ( z )  B)
 k ( g ( z )  B)
k

k 1

Jadi, lim kg ( z )  kB  k lim g ( z ) ; k konstanta.
z  z0
z  z0
13
Oleh karena itu,
lim  f ( z )  g ( z )   lim f ( z )  (1) lim g ( z )
z  z0
z  z0
z  z0
 lim f ( z )  lim g ( z )
z  z0
z  z0
 A B
3. Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka
1

adalah
2 g ( z)  1
positif. Karena lim f ( z )  A , maka terdapat suatu bilangan positif 1
z  z0
sedemikian sehingga
0  z  z0  1  f ( z )  A 
1

2 g ( z)  1
Karena lim g ( z )  B , maka terdapat suatu bilangan positif  2 sedemikian
z  z0
sehingga
0  z  z0   2  g ( z)  B 
1 
2 A 1
Pilih   min{ 1 ,  2 } , maka 0  z  z 0   menunjukkan
f ( z ) g ( z )  AB  f ( z ) g ( z )  Ag ( z )  Ag ( z )  AB
 g ( z ) f ( z )  A  Ag ( z )  B 
 g ( z ) f ( z )  A  Ag ( z )  B 
 g ( z) f ( z)  A  A g ( z)  B


g ( z)

2
g ( z)  1

2


2


A

2 A 1
14
Jadi, lim f ( z ) g ( z )  AB  lim f ( z )  lim g ( z )
z  z0
z  z0
z  z0
4. Berdasarkan bukti 3, maka dapat ditunjukkan
lim
z  z0

f ( z)
1 

 lim  f ( z )
g ( z ) z  z0 
g ( z ) 
 lim f ( z ) lim
z  z0
Dengan lim
z  z0
maka
z  z0
1
g ( z)
1
1
, yaitu dengan diberikan bilangan positif  ,

g ( z ) lim g ( z )
z  z0
1
g ( z ) B  adalah positif. Karena lim g ( z )  B , maka terdapat
z  z0
2
suatu bilangan positif  1 sedemikian sehingga
0  z  z0  1  g ( z)  B 
1
g ( z) B 
2
Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0  z  z 0  
yang menunjukkan
1
1
B  g ( z )  g ( z )  B 
 

g ( z) B
g ( z)B
g ( z)B




g ( z)  B
g ( z)B
g ( z)  B
g ( z)B
1
1
g ( z) B  
2
g ( z) B

2

15
Jadi, lim
z  z0
1
1
1
 
g ( z ) B lim g ( z )
z  z0
Oleh karena itu,
lim
z  z0
f ( z)
1
 lim f ( z )
g ( z ) z  z0
lim g ( z )
z  z0

A
B
■
2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks
Fungsi pangkat didefinisikan sebagai:
w  e z  e a  ib  e a (cos b  i sin b) ,
dengan e  2,71828 adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a
bilangan riil positif, maka didefinisikan a z  e z ln a , dengan ln a adalah logaritma
natural (asli) dari a. jika a=e maka direduksi kembali menjadi w (Spiegel,1994).
Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975)
i. Untuk setiap peubah kompleks z1 dan z 2 berlaku sifat-sifat berikut:
1. e z1  z 2  e z1 e z 2
2. e z1  z 2 
e z1
e z2
ii. Jika z  a  ib , maka
1. e z  e z
2.
e z  e a dan arg(e z )  b
16
Bukti:
i. Misalkan z1  a1  ib1 dan z 2  a2  ib2 maka
e z1  e a1 (cos b1  i sin b1 ) dan e z 2  e a2 (cos b2  i sin b2 )
1. e z1 e z 2  e a1 e a1 (cos b1  i sin b1 )(cos b2  i sin b2 )
 e a1  a2 (cos b1 cos b2  sin b1 sin b2 )  i (cos b1 sin b2  cos b2 sin b1 )
 e a1  a2 cos(b1  b2 )  i sin(b1  b2 ) 
 e z1  z 2
2. z1  z 2  (a1  a2 )  i (b1  b2 ) , maka
e z1  z 2  e a1  a2 cos(b1  b2 )  i sin(b1  b2 ) 

e a1
(cos b1 cos b2  sin b1 sin b2 )  i(cos b1 sin b2  cos b1 sin b2 ) 
e a2

e a1
(cos b1  i sin b1 ) cos b2  (cos b1  i sin b1 )i sin b2 
e a2

e a1
(cos b1  i sin b1 )(cos b2  i sin b2 )
e a2
e a1 ib1 ib2
 a2  e e
e

e a1 e ib1

e a2 e ib2

e a1  ib1
e a2  ib2
e z1
 z2
e
ii. Misalkan
sehingga:
z  a  ib ,
■
maka
e z  e a (cos b  i sin b)  e a cos b  ie a sin b ,
17
1. Karena z  a  ib maka z  a  ib , sehingga:
e z  e a ib
 e a e  ib
 e a (cos b  i sin b)
 e a cos b  ie a sin b
 e a cos b  ie a sin b
 e a (cos b  i sin b)
 ez
2.
e z  (e a cos b) 2  (e a sin b) 2  (e a ) 2 (cos 2 b  sin 2 b)  e a , dan
 e a sin b 
  arctan(tan b)  b
arg(e z )  arctan a
 e cos b 
■
2.6 Fungsi Analitik
Jika turunan f z  ada di semua titik z dari suatu daerah  , maka f z 
dikatakan analitik dalam  dan dinyatakan sebagai fungsi analitik dalam  .
Istilah regular (teratur) dan holomorphic (holomorfik) seringkali digunakan
sebagai pengganti istilah analitik.
Suatu fungsi f z  dikatakan analitik di suatu titik z0 jika terdapat suatu
lingkungan z  z0   sehingga f z  ada di setiap titik pada lingkungan tersebut
(Spiegel, 1987).
18
2.7 Persamaan Cauchy Riemann
Suatu syarat perlu agar w  f z   u x, y   ivx, y  analitik dalam suatu daerah 
adalah u dan v memenuhi persamaan Cauchy Riemann
u v
 ,
x y
u
v

y
x
Jika turunan parsial diatas kontinu dalam  , maka persamaan Cauchy Riemann
adalah syarat cukup agar f z  analitik dalam  .
Fungsi u  x, y  dan vx, y  seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika salah satu
dari padanya diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya (terlepas dari
suatu konstanta penjumlahan sebarang) sehingga u  iv  f z  analitik (Spiegel,
1987).