a, b, c - Universitas Mercu Buana Yogyakarta

MATEMATIKA 4
TPP: 1202
Disusun oleh
Prof. Dr. Ir. Dwiyati Pujimulyani,MP
Program Studi Teknologi Hasil Pertanian
Fakultas Agroindustri
Universitas Mercu Buana
Yogyakarta
2015
BILANGAN REAL/ RIIL
Sistem bilangan Real/ riil terdiri dari suatu himpunan unsur yang
dinamakan bilangan Riil, dinyatakan dengan R.
Suatu bilangan riil dapat merupakan suatu bilangan positif, suatu
bilangan negatif atau nol.
Bilangan bulat (positif, negatif dan nol)
……, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,……
Pecahan positif dan negatif
2
4 83
,
,
7
5
5
Bentuk desimal positif dan negatif, seperti
2,36 
236
3.251
,0,003251  
100
1.000.000
Bentuk desimal berulang positif dan negatif
0,333..... 
1
61
,0,549549549....  
3
111
Bilangan Riil yang bukan rasional dinamakan bilangan irasional,
yang mempunyai bentuk desimal tak berulang seperti:
3  1,732....
  3,14159.....
Suatu urutan untuk himpunan Riil, dan
terdapat relasi yang dinyatakan dengan
lambang < dibaca (lebih kecil dari pada) dan
> (lebih besar dari pada)
Teorema, Jika a, b  R
(i) a < b, jika dan hanya jika b-a positif
(ii) a > b, jika dan hanya jika a-b positif
Ilustrasi :
3 < 5 karena
5-3= 2
; 2 positif
-10 < -6 karena -6 – (-10)= 4 ; dan 4 positif
7 > 2 karena
7-2= 5 ; dan 5 positif
Sekarang kita mendefinisikan lambang ≤ (lebih kecil atau sama
dengan) dan ≥ (lebih besar atau sama dengan)
Jika a, b R
(i)
a ≤ b, jika dan hanya jika a < b atau a = b
(ii) a ≥ b, jika dan hanya jika a > b atau a = b
Pernyataan a < b, a > b, a ≤ b, dan a ≥ b dinamakan ketaksamaan
Contoh: 2 < 7; -5 < 6; -5 < -4, 14 > 8 dst
Khususnya: a < b dan a > b dinamakan ketaksamaan murni
a ≤ b dan a ≥ b dinamakan ketaksamaan tak murni
Teorema (i) a > 0 jika dan hanya jika a positif
(ii) a < 0 jika dan hanya jika a negatif
Suatu bilangan x terletak di antara a dan b, jika a < x dan x < b
Cara menuliskan ketaksamaan bersambung adalah a < x < b
Ketaksamaan bersambung lainnya: a ≤ x ≤ b
Yang berarti bahwa a ≤ x dan x ≤ b
Ketaksamaan bersambung lainnya= a ≤ x ≤ b dan a < x ≤ b
Teorema (i) jika a > 0 dan b < 0, maka a + b > 0
(ii) jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0
Teorema: jika a, b, c  R dan
jika a > b, dan b > c, maka a > 0
Teorema
Andaikan a, b, c,  R
(i) Jika a > b,maka a + c > b + c
(ii) Jika a > b, dan c > 0, maka ac > bc
(iii) Jika a > b, dan c < 0, maka ac < bc
Contoh:
9 > 3 jadi 9 + 4 > 3 + 4 atau setara dengan 13> 7
Jika x > y, maka x – 11 > y – 11 sebagai contoh: 9 > 3, jadi
9 – 11 > 3 – 11 atau setara dengan -2 > -8
Jika x > y, menurut teorema (ii) di atas langsung diperoleh 7x > 7y
sebagai contoh: karena 8 > 5 maka 7.8 > 7.5 atau setara dengan
56 > 35
Jika 6 > 4 maka untuk z < 0, menurut teorema (iii) di atas langsung
diperoleh 6z < 4z
contoh: 6 > 4 maka 6 (-3) < 4 (-3) atau setara dengan -18 < -12
Teorema
Serupa dengan teorema sebelumnya
ketidaksamaannya berlawanan.
Teorema andaikan a, b, c  R
(i) Jika a < b maka a + c < b + c
(ii) Jika a < b dan c > a, maka ac < bc
(iii) Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
kecuali
tanda
Ilustrasi
a). Jika x < y dari teorema (i) di atas jika mempunyai x + 5 < y +
5,sebagai contoh -8 < -2; jadi -8 + 5 < -2 + 5 atau setara
dengan -3 < 3.
Jika x < y maka x – 4 < y – 4 sebagai contoh -8 < -2 jadi -8 –
4 < -2 – 4 atau setara dengan -12 < -6
b). Jika x < y dari teorema (ii) di atas diperoleh 4x < 4y.
Sebagai contoh -5 < 3 jadi 4 (-5) < 4 (3) atau setara
dengan -20 < 12.
c) Jika -5 < 3, maka untuk z < 0, dari teorema di atas diperoleh 5z > 3z sebagai contoh karena -5 < 3, maka (-5) (-4) > 3 (-4)
atau setara dengan 20 > -12.
Teorema
Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d
Ilustrasi: jika x < 8 dan y < -3, maka x + y < 8 + (-3) yaitu x + y < 5
SIFAT-SIFAT SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real a, b, c dan d berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Sifat komutatif
(i) a + b = b + a
(ii) a.b = b.a
2. Sifat asosiatif
(i) a + (b +c) = (a + b) + c = a + b + c
(ii) a (b.c) = (a.b) c = a.b.c
3. Sifat distributif
a (b + c) = (a.b) + (a.c)
4. (i)
a
1
 a. , b  0
b
b
(ii) a  c  (a.d )  (b.c) , b  0, d  0
b
(iii)
d
b.d
a c
a.c
. 
, b  0, d  0
b d b.d
(iv) a(-b)= (-a)b = -(a.b)
(v) (-a).(-b)= a.b
(vi) -(-a)= a
(vii) Jika a.c = b.c dan c ≠ 0 maka a = b
(viii)Jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
a. Persamaan adalah kalimat terbuka yang
menggunakan hubungan sama dengan (=).
Suatu persamaan akan tetap ekuivalen (artinya
sama), bila kedua ruasnya:
 ditambah dengan bilangan yang sama, atau
 dikalikan dengan bilangan yang sama
 dibagi dengan bilangan yang sama
contoh:
1). 9x + 3 = 12
2). X2 + 3x – 70 = 0
3). 2x2 -7x – 15 = 0
b. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan
hubungan lebih dari (>), kurang dari (<), lebih dari atau sama
dengan (≥), kurang dari atau sama dengan (≤).
 Suatu pertidaksamaan akan tetap ekuivalen, bila kedua
ruasnya:
 ditambah dengan bilangan yang sama, atau
 dikalikan dengan bilangan positif yang sama, atau
 dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, dengan tanda
hubungan menjadi terbalik dari asalnya

contoh:

1). 3x – 5 > 4

2). X2 – 3x – 10 ≥ 0

3). 3x2 – 6x + 3 ≤ 0
Soal:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. 3x + 4 = 16
b. 3(x – 2) = 2(5 -3x)
c. 2 + 5x = 7 + 4(1 – x)
d. 1 – 3(4 – x) = 5(3 – 2x) + 2x
e. 9x + 3 = 12
f. x2 + 3 – 70 = 0
g. 2x2 -7x – 15 = 0
2. Carilah himpunan penyelesaian dari:
a. 3x + 4 > 1
b. 4(4 + 1) – 5 < 5x
c. 5 – 2(3 + 2x) > 12 – 3(x + 2)
1
1
1
d. 1  3(1  2 x )  (15 x  1 )
2
3
2
MEMPELAJARI PERSAMAAN LINIER
 Menyelesaikan dengan Pembagian
Carilah nilai x pada persamaan 20x = 170
Bagilah setiap sisi dengan 20
20 x 170

20
20
Sederhanakan kedua sisi tanda sama dengan
20 x 170

20
20
x  8,5
 Menyelesaikan dengan Perkalian
y
Coba selesaikan y pada persamaan
 2
11
 y
11    2 11
 11 
y  22
Selesaikan a dalam
 4a 
5
  125
 5 
 4a 
5
  125
 5 
4a  60
4a
 12
5
 Menyelesaikan dengan Metode Berkebalikan
4
Pada contoh ini, peubah dikalikan dengan kebalikan
5
4a
 12
5
5
Kalikan setiap sisinya dengan kebalikannya, yaitu
4
5  4a   5 

   .12
4 5  4
5  4a   5 

   .12
4 5  4
a  15
1. Carilah nilai x :
x
 19
2
x
1
adalah cara lain untuk menyatakan  .x
2
2
Cara memecahkannya dengan mengalikannya dengan kebalikan
dari 1 yaitu 2
2
2  1x 
2

19
 
 
1 2 
1
2. Carilah nilai f :  f  11
 f  11
( 1)( 1 f )  11( 1)
f  11
3. Carilah nilai x: 0,7x = 42
0,7 x  42
0,7 x 42

0,7
0,7
x  60
Untuk melakukannya pada contoh desimal ini, ubahlah 0,7
menjadi 7 . Kebalikan dari 7
10
adalah 10
10
7
x  42
10
10  7 
 10 
  x  42 
7  10 
 7 
420
x
7
x  60
7
Menyederhanakan Persamaan Agar tetap Sederhana
2(3 x  2 x  7)  30
2( x  7)  30
2 x  14  30
2 x  14  14  30  14
2 x  16
2 x 16

2
2
x 8
Gantikan 8 untuk x pada persamaan awal untuk melihat apakah
penyelesaian tersebut benar
2[3(8)  2(8)  7]  30
2[24  16  7]  30
2[15]  30
30  30
Carilah penyataanan berkelompok yang tidak memiliki simbol pengelompokan
di dalamnya dan distribusikan
6[2  3( x  4)]  5[2( x  1)  2]
6[2  3 x  12]  5[2 x  2  2]
6[14  3 x]  5[2 x]
84  18 x  10 x
84  18 x  18 x  10 x  18 x
84  28 x
84 28 x

28
28
3 x
5{[ 3(5  x )  2]  10}  6 x  7[ 2( x  1)  12]
5{[15  3 x  2]  10}  6 x  7[ 2 x  2  12]
5{[17  3 x ]  10}  6 x  7[ 2 x  10]
5{17  3 x  10}  6 x  14 x  70
5{7  3 x}  20 x  70
35  15 x  20 x  70
35  15 x  15 x  20 x  15 x  70
35  35 x  70
35  70  35 x  70  70
 35  35 x
 35 35 x

35
35
1  x
TERIMAKASIH