Tes II - Matematika

Tes II
MA2151 Matematika diskrit
Semester 1, 2009-2010
Kamis, 29 Oktober 2009
Waktu: 90 menit
Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto
1. Berapakah banyaknya cara memotret enam orang dalam sebuah barisan,
termasuk sepasang pengantin, jika
(a) pasangan pengantin berdiri bersebelahan,
(b) pasangan pengantin berdiri dipisahkan oleh sedikitnya satu orang.
2. Diberikan delapan bilangan bulat. Tunjukkan bahwa terdapat dua
bilangan di antaranya yang jumlahnya atau selisihnya habis dibagi
12.
3. Tentukan banyaknya solusi bulat tak-negatif dari persamaan
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 15, dengan x1 ≥ 7.
4. Misalkan m, n bilangan bulat positif. Dengan menggunakan argumentasi kombinatoris, buktikan identitas berikut:
µ
¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶
µ ¶µ ¶
m+n
m
n
m
n
m
n
=
+
+···+
.
n
0
0
1
1
n
n
− − − ≪≫ − − −
Solusi:
1. (a) 2 × 5! = 240 cara.
(b) Misalkan a, b, c berturut-turut menyatakan banyaknya orang di
sisi kanan, di antara dan di sisi kiri pengantin. Banyaknya nilai
a, b, dan c sama dengan banyaknya solusi bulat tak-negatif dari
persamaan berikut
a + b + c = 4,
dengan a ≥ 0, b ≥ 1, dan c ≥ 0, yaitu (52). Karena setiap
orang disini harus dibedakan maka jawaban dari persoalan semula adalah (52) × 2! × 4! = 480.
2. Jika kedelapan bilangan bulat tersebut dibagi 12 maka kemungkinan
sisanya adalah 0, 1, 2, . . . , 11. Sekarang siapkanlah tujuh buah kotak
dan kita beri label
{0}, {1, 11}, {2, 10}, {3, 9}, {4, 8}, {5, 7}, {6}.
Kemudian kita masukkan kedelapan bilangan tadi ke dalam kotak
sesuai dengan sisa pembagiannya oleh 12. Karena terdapat tujuh
buah kotak dan delapan buah bilangan, maka menurut Prinsip Pigeonhole, terdapat sebuah kotak yang memuat dua bilangan. Jika
yang terisi adalah kotak dengan label {0} atau {6}, maka selisih kedua bilangan tersebut tentulah kelipatan 12. Juga, jika yang terisi
adalah kotak lainnya, maka hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut habis dibagi 12.
3. Banyaknya solusi bulat tak-negatif dari persamaan
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 15, dengan x1 ≥ 7
sama dengan banyaknya solusi bulat tak-negatif dari persamaan
x∗1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 15 − 7,
yaitu (12
4 ) = 495.
2
4. Tuliskan lebih dahulu identitas di atas sebagai
µ
¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶
µ ¶µ ¶
m
n
m
n
m
n
m+n
=
+
+···+
n
0
0
1
1
n
n
µ ¶µ ¶ µ ¶µ
¶
µ ¶µ ¶
m
n
m
n
m
n
=
+
+···+
.
0
n
1
n−1
n
0
Ruas kiri menyatakan banyaknya subhimpunan S dengan n unsur
dari suatu himpunan H dengan m + n unsur.
S
Misalkan H = A B, dengan | A| = m dan | B| = n. Subhimpunan
S dapat kita konstruksi dengan cara mengambil 0 unsur dari A dan
n unsur dari B, atau 1 unsur dari A dan n − 1 unsur dari B, atau 2
unsur dari A dan n − 2 unsur dari B, . . . , n unsur dari A dan 0 unsur
dari B. Banyaknya subhimpunan yang terjadi adalah
µ ¶µ ¶ µ ¶µ
¶
µ ¶µ ¶
m
n
m
n
m
n
+
+···+
.
0
n
1
n−1
n
0
Jadi,
µ
m+n
n
¶
µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶
µ ¶µ ¶
m
n
m
n
m
n
=
+
+···+
.
0
0
1
1
n
n
3