Kombinatorika 2008

Olimpiade Matematika untuk Mahasiswa 2008
Kombinatorika
12 Mei 2008
Waktu: 75 menit
Petunjuk pengerjaan:
1. Tes ini terdiri dari dua bagian. Bagian Pertama terdiri dari 8 soal, sedangkan Bagian
Kedua terdiri dari 2 soal.
2. Untuk soal-soal Bagian Pertama, tuliskan hanya jawaban akhir saja pada kotak
yang disediakan. Jawaban yang dikehendaki adalah jawaban benar yang terbaik.
3. Untuk soal-soal Bagian Kedua, tuliskan jawaban Anda lengkap dengan argumentasi
dan penjelasan.
4. Setiap soal pada Bagian Pertama bernilai 2 angka, sedangkan setiap soal pada
Bagian Kedua bernilai 8 angka.
5. Waktu tes adalah waktu total untuk kedua bagian. Selama waktu itu, Anda boleh
menyelesaikan soal yang mana pun sesuka Anda.
6. Gunakan pena atau pulpen. Pensil hanya boleh digunakan untuk gambar atau
sketsa.
7. Jika tempat yang tersedia tidak mencukupi, gunakan halaman di belakangnya.
8. Bekerjalah dengan cepat, tetapi cermat dan teliti. Anda sama sekali tidak diperkenankan menggunakan penghapus cair.
9. Di akhir tes, kumpulkan berkas soal ini secara utuh.
Nama:
Univ./PT:
BAGIAN PERTAMA
1. Banyaknya bilangan terdiri dari dua digit sehingga hasil kali kedua
digitnya genap adalah ..............
2. Banyaknya bilangan bulat positif yang menjadi faktor 510510
adalah .................
3.
¡n−1¢
0
+
¡ n¢
1
+
¡n+1¢
2
+ ... +
¡n+r−1¢
r
4. Persamaan eksplisit untuk gn =
g2 = 3, adalah .............
√
= ..........
gn−1 + gn−2 , dengan g1 = 1 dan
5. Pada bidang Cartesius kita ingin bergerak dari titik (0, 0) menuju
titik (9, 7) dengan aturan: kita hanya boleh bergerak ke kanan
atau ke atas. Cacah rute terpendek untuk bergerak dari titik
(0, 0) ke titik (9, 7), bila rute dari titik (3, 3) ke (3, 4) tidak boleh
digunakan, adalah ................
6. Diketahui A = {0, 1}. Cacah string dengan panjang n di An yang
tidak memuat 01 adalah .............
7. Pada suatu kantong terdapat masing-masing 50 bola berwarna
merah, putih, kuning, dan hijau. Jika setiap satu menit Anda
mengambil satu bola dari kantong, pada menit ke ........... dijamin
Anda mendapatkan 12 bola dengan warna sama.
8. Banyaknya graph sederhana (tidak saling isomorfik) dengan cacah
verteks n (n ≥ 2) adalah .............
Nama:
Univ./PT:
BAGIAN KEDUA
1. Perlihatkan bahwa bila n + 1 bilangan bulat dipilih dari himpunan {1, 2, . . . , mn}
untuk suatu bilangan bulat m ≥ 2, maka terdapat dua bilangan bulat yang selisihnya tidak lebih dari m − 1.
Nama:
Univ./PT:
2. Tunjukkan bahwa banyaknya cara menghubungkan 2n titik pada lingkaran berpasa¡2n¢
1
ngan oleh n talibusur yang tidak saling berpotongan adalah n+1
.
n