iii. limit dan kekontinuan

KALKULUS I
MUG1A4
PROGRAM PERKULIAHAN
DASAR DAN UMUM
(PPDU)
TELKOM UNIVERSITY
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
x 2 1
f ( x) 
x 1
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk
0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,
seperti pada tabel berikut
0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
2
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
Dari tabel dan grafik disamping
terlihat bahwa f(x) mendekati 2
jika x mendekati 1
Secara grafik
f(x)
2
f(x)
Secara matematis dapat dituliskan
sebagai berikut
º
x
1
x2 1
lim
2
x1 x  1
x
2
x
 1 untuk x mendekati
Dibaca “ limit dari
x 1
1 adalah 2
Definisi (limit secara intuisi).
Untuk mengatakan bahwa lim f ( x)  L berarti bahwa bilamana x dekat,
xc
tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.
Contoh
1. lim3x  5  8
x 1
(2x  1)(x  2)
2x 2  3x  2

lim
lim
2. x2
x2
x2
x2
3.
lim
x9
x 9
x 3
 lim
x9
x 9
x 3
 lim2x  1  5
x2
x  3 x  3  lim
x9
( x  9)( x  3)  lim x  3  6
x9
x 9
4. limsin(1/ x)
x0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x
sin(1/ x)
2/
2 / 2
2 / 3
2 / 4
2 / 5
2 / 6
1
0
-1
0
1
0
2 / 7
-1
2 / 8
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke
satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
Definisi Limit
lim f ( x )  L jika  
x c


L
 0,    0  | x  c |    | f ( x )  L |  
L
º
c
c
Untuk setiap
L
º
 
 0
º
c  c c 
| x  c | 
Terdapat   0 sedemikian sehingga
L 
L 
L
º
c
| f ( x)  L | 
Limit Kiri dan Limit Kanan
x
Jika x menuju c dari arah kiri
(dari arah bilangan yang lebih kecil dari c)
limit disebut limit kiri,
c
notasi
c
lim f ( x)
xc
Jika x menuju c dari arah kanan
(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)
limit disebut limit kanan,
x
notasi lim f ( x)
xc
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
lim f ( x)  L  lim f ( x)  L dan lim f ( x)  L
xc
Jika
xc
xc
lim f ( x)  lim f ( x) , maka lim f ( x) tidak ada
xc
xc
xc
Contoh
1.
 x2 , x  0

f ( x)   x , 0  x  1
2  x2 , x  1

a. Hitung lim f ( x)
x0
b. Hitung lim f ( x)
x1
c. Hitung lim f ( x)
x2
d. Gambarkan grafik f(x)
Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x= 0
lim f ( x)  lim x2  0 

x0
x0
 lim f ( x)  0
lim f ( x)  lim x  0  x0
x0
x0





b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x = 1
lim f ( x)  lim x  1


 lim f ( x) tidak ada karena lim f ( x)  lim f ( x)
2
x1
x1
lim f ( x)  lim 2  x  3  x1
x1
x1

x1
x1




c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x = 2
lim f ( x)  lim 2  x 2  6
x 2
x 2
d.
f ( x)  2  x2
3
di x=1 limit tidak
ada
º
1
Untuk x
0
f ( x)  x 2
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
Untuk
x 1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Grafik: parabola
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
3  cx, x  1
f ( x)   2
x  c, x  1
mempunyai limit di x=-1
Jawab:
Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka lim f ( x)  lim f ( x)
x 1
x 1
lim f ( x)  lim 3  cx  3  c
x1
x1
lim f ( x)  lim x2  c  1 c
x1

x1
Agar limit ada
3+c=1-c
C = -1
Soal Latihan
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai
fungsi tidak ada.
1. lim f ( x)
x3
2.
lim f ( x)
x1
3. lim f ( x)
x1
4. f(-3)
5. f(-1)
6. f(1)
 x2  1, x  1
B. 1. Diketahui : f ( x)   2
x  x  2, x  1
a. Hitung lim f ( x) dan
x1
lim
x1
f ( x)
b. Selidiki apakah lim f ( x) ada, jika ada hitung limitnya
x1
2. Diketahui
a.
lim
x2
g ( x)  x  2  3x, hitung (bila ada) :
g( x)
b.
lim
x2

g( x)
c. lim
x2
x  2 , hitung (bila ada)
3. Diketahui f ( x) 
x2
a.
lim
x 2 
f ( x)
b. lim f ( x)
x 2 
c.
g( x)
lim f ( x)
x2
Sifat limit fungsi
Misal
lim f ( x)  L dan lim g ( x)  G (limit dari f dan g ada serta berhingga)
xa
xa
maka
1.
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  G
xa
xa
xa
2. lim f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)  LG
xa
xa
xa
lim f ( x) L
f
(
x
)
3. lim
 xa
 , bila G  0
xa g ( x)
lim g ( x) G
xa
4.
lim( f ( x))n  (lim f ( x))n , n bilangan bulat positif
xa
xa
5. lim n f ( x)  n lim f ( x)  n L
xa
xa
bila n genap dan L harus positif
Prinsip Apit
Misal
f ( x)  g ( x)  h( x) untuk x disekitar c dan
lim f ( x)  L serta lim h( x)  L
maka
xc
xc
lim g ( x)  L
x c
Contoh : Hitung
1
lim( x  1) sin
x 1
x 1
2
1
Karena  1  sin(
) 1
x 1
dan
 ( x 1)2  ( x 1)2 sin
lim ( x 1)2  0, lim( x 1)2  0
x1
maka lim( x 1)2 sin
x1
x1
1
0
x 1
1
 ( x 1)2
x 1
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
a. Limit Tak Hingga
f ( x)
Misal lim f ( x)  L  0 dan lim g( x)  0 , maka lim

x a g ( x)
x a
x a
(i )   , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah atas
(ii)   , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah bawah
(iii)   , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah bawah
(iv)  , jika L  0 dan g ( x)  0 dari arah atas
Cttn :
g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
g(x)  0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
Contoh: Hitung
x2  1
x2 1
b. lim  2
a. lim
x1 x  1
x 1 x 1
Jawab
c.lim
x
x
sin x
a. lim x 2  1  2  0 , g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena
x1
x  1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnya
x-1 akan bernilai negatif
Sehingga
x2 1
 
lim
x1 x 1
b. lim x2  1  2  0
x1
Sehingga
, g ( x)  x2 1 akan menuju 0 dari arah atas karena
x  -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapi
bilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadrat
kan pastilah lebih dari 1 sehingga x 2  1 bernilai positif
x2 1
lim 2  
x1 x 1
c.
Karena
f(x)=sinx
lim x    0
x 
dan

x
Jika x menuju  dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arah
bawah (arah nilai sin x negatif)
sehingga
lim
x
x
 
sin x
b. Limit di Tak Hingga
a. lim f ( x)  L jika   0  M  0  x  M  | f ( x)  L |  
x
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh: Hitung
x 2  2x  5
lim
x 2 x 2  4
Jawab:
2 5

 2
1
2
x
(
1


)
x  2x  5
x x

lim

lim
lim
x
4
x 2 x 2  4
x x 2 (2  4 )
2

2
x
x2
2
2
x
5
x2
= 1/2
b. lim f ( x)  L jika   0  M  0  x  M  | f ( x)  L |  
x
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
L
x
Contoh: Hitung
2x  5
x 2 x 2  4
lim
Jawab:
( 2xx  x5 )
( 2x  x5 ) 0  0 0
2x  5
lim 2
 lim 2 x
 lim

 0
4
4
x 2 x  4 x (
 x ) x (2  x ) 2  0 2
x
2
2
2
2
2
2
2
Contoh:
lim x 2  x  3  x
Hitung
Jawab :
x
Jika x   , limit diatas adalah bentuk (
lim
x  
x 2  x  3  x  lim
x  
 lim
x  
 lim
x  
 lim
x   x

x 1  3x 
1  1x

3
x2

1

  )

 x2  x  3  x 

x  x3  x 
 x2  x  3  x 


2
x2  x  3  x2
 lim
x2  x  3  x
x(1 3x )
x  
2
x (1 1x  x3 )  x
 lim
x   
2
1  3x
1  1x  x3
2
x 3
x2  x  3  x
 lim
x    x
x(1  3x )
1  1x  x3  x
1 0
1


2
1  1  0  0 1
2
Soal Latihan
Hitung:
3 x
1. lim 3  x
x3
2.
3.
4.
5.
lim
3
2
x2 x  4
lim( x  1  x )
x 
x
lim
x 1  x2
lim
x2  x
x x  1
.
x2 1
6. lim
x x 1
2 x 1
7. lim 2
x1 x  x  2

x2  2 x  5
8. lim
x
2x  5
9. lim
x
2x  3
x2  x  2
Limit Fungsi Trigonometri
sin x
1. lim
1
x0
x
2. lim cos x  1
x0
tan x
1
x0
x
3. lim
Contoh:
sin 4x
sin 4x
sin 4x
.4x lim
.4 4 lim
sin 4x
4
lim
 lim 4x
 x0 4x
 4 x0 4x   2
tan 2x
tan 2x 2
x0 tan 2x x0 tan 2x
.2x lim
.2 2 lim
x0 2x
2 x0 2x
2x
x  0 ekivalen dgn 4x  0
Soal Latihan
Hitung
tan2 3t
1. lim
t 0
2t
2.
cot t sin t
t 0
2 sect
lim
cos2 t
3. lim
t 0 1  sin t
tan x
4. lim
x0 sin 2 x
5.
tan x
x0 x2  3x
lim
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i)
f(a) ada
(ii)
lim f ( x) ada
xa
(iii) lim f ( x)  f (a)
xa
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi,
maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
(i)
º
a
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
Karena limit kiri (L1) tidak sama
dengan limit kanan (L2), maka f(x)
tidak mempunyai limit di x = a
(ii)
L2
L1
a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a
(iii)
f(a)
●
L
º
a
f(a) ada
lim f ( x ) ada
x a
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan
limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a
(iv)
f(a) ada
lim f ( x) ada
f(a)
xa
lim f ( x)  f (a)
a
xa
f(x) kontinu di x=a
º
a
Ketakkontinuan yang terhapuskan
Ketakkontinuan kasus (i) bisa
dihapus dengan cara
mendefinisikan nilai fungsi
dititik tersebut = limit fungsi
Contoh:
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkan
alasannya
2
2

4
x
x 4
 x  1, x  2

,x  2
a. f ( x) 
c. f ( x)   2
b. f ( x)   x  2
x2
 3
x  1, x  2
,x  2
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x = 2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu di x = 2
b. - f(2) = 3
x2  4
( x  2)(x  2)
lim

lim
 lim x  2  4
- x2
x

2
x2
x2
( x  2)
-
lim f ( x)  f (2)
x2
f(x) tidak kontinu di x=2
c.
- f (2)  2 2  1  3
-
lim f ( x)  lim x  1  3
x2
x2
lim f ( x)  lim x 1  3
2
x2
lim f ( x)  3
x2
x2
- lim f ( x)  f (2)
x2
Karena semua syarat dipenuhi  f(x) kontinu di x = 2