Limit Fungsi Trigonometri

LIMIT FUNGSI
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
TRIGONOMETRI
Matematika
Kelas XI MIA
Semester 2
S
M
A
l im tan
h
0
x
h
h
tan
x
Disusun oleh :
Markus Yuniarto, S.Si
Tahun Pelajaran 2016– 2017
SMA Santa Angela
Jl. Merdeka No. 24Bandung
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
PENGANTAR :
Modul ini kami susunsebagai salahsatusumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih
mudah. Kami menyajikanmateri dalammodul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan
diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI :
Menggunakan konseplimitfungsi dan turunanfungsi dalampemecahanmasalah.
KOMPETENSI DASAR
:
Menjelaskansecara intuitifarti limit fungsi di suatu titikdan di takhingga.
Menggunakan sifatlimitfungsi untukmenghitung bentuktak tentufungsi aljabar dantrigonometri.
Menentukaninverssuatufungsi
TUJUAN PEMBELAJARAN:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut
Menjelaskanarti limitfungsi di takberhingga melalui grafikdanperhitungan.
Menghitunglimitfungsi aljabar dantrigonometri di satu titik.
Menjelaskansifat-sifatyang digunakan dalamperhitunganlimit.
Menjelaskanarti bentuktaktentu dari limit fungsi.
Menghitunglimitfungsi aljabar dantrigonometri denganmenggunakansifat-sifat limit
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 2
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
RUMUS TRIGONOMETRI
I.
RUMUS JUMLAH DANSELISIH SUDUT
(1) sin(A+ B) = sin AcosB + cos Asin B
(2) sin(A– B) = sin AcosB – cos Asin B
(3) cos(A + B) = cosAcosB – sinA sinB
(4) cos(A – B) = cosAcosB + sinA sinB
tan A tan B
1 tan A tan B
tan A tan B
(6) tan(A – B) =
1 tan A tan B
(5) tan(A + B) =
II.
RUMUS SUDUTRANGKAP DAN SUDUT PERSETENGAHAN
1. RUMUS SUDUTRANGKAP.
(1) sin 2A = 2sinAcos A
(2) cos 2A = cos2A– sin2A= 1– 2sin2A= 2cos2A– 1
(3) tan 2A =
2 tan A
1 tan 2 A
(4) sin 3A = 3sinA– 4sin3A
(5) cos 3A = 4cos3A– 3cos A
(6) tan 3A =
3 tan A tan 3 A
1 3 tan 2 A
2. RUMUS SUDUTPERSETENGAHAN.
1
A=
2
1
(2) cos A
2
1
(3) tan A
2
(1) sin
1 cos A
2
1 cos A
2
1 cos A
sin A
=
1 cos A 1 cos A
1 cos A
sin A
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 3
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
III.
RUMUS HASIL KALI SINUS DANKOSINUS
(1) 2sinA cos B= sin(A+ B)+ sin(A – B)
(2) 2cos A sin B= sin(A+ B) – sin(A– B)
(3) 2cos A cos B= cos(A+ B)+ cos(A – B)
(4) 2sin A sin B= - cos(A+ B)+ cos(A– B)
IV.
RUMUS JUMLAH DANSELISIH SINUSDANKOSINUS
1
1
(A+ B)cos (A– B )
2
2
1
1
(2) sin A – sin B= 2cos (A+ B)sin (A– B)
2
2
1
1
(3) cos A + cosB = 2cos (A+ B)cos (A– B)
2
2
1
1
(4) cos A – cosB = -2sin (A+ B)sin (A– B)
2
2
(1) sin A + sin B= 2sin
V.
BENTUK a cos x+ b sin x
a cos x + b sin x= k cos(xi.
k = a2
ii.
tan
=
)
b2
b
a
( i ) a(+), b(+)
kw ( I )
(ii ) a(-), b(+)
kw (II)
(180– )
(iii) a(-), b(-)
kw (III)
(180+ )
(iv) a(+), b(-)
kw (IV)
(360– )
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 4
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Ex. 14. Hitunglah:
a.
lim
x
0
sin 2 x
sin x
2 sin x cos x
sin x
lim
x
0
lim 2 cos x
x
0
2. cos 0
2.1
2
b.
lim sin x cos x
sin
x
cos
= 0– (-1)
=1
c.
lim
x
0
1 cos 2x
1 cos 4 x
1 cos 0
1 cos 0
1 1
1 1
lim
x
0
1 cos 2 x
1 cos 4 x
lim
x
0
lim
x
0
lim
x
0
lim
x
0
0
(gagal)
0
1 (cos2 x sin2 x)
1 (cos2 2 x sin2 2 x)
1 (cos2 x sin2 x 2 sin2 x)
1 (cos2 2 x sin2 2 x 2 sin2 2 x)
1 (1 2 sin2 x)
1 (1 2(2 sinx cos x)2
2 sin2 x
8 sin2 x cos 2 x
1
4
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 5
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Secara Umum:
1. lim
sin x
x
1
7. lim
nx
tan mx
n
m
2.
x
sinx
1
8. lim
tan mx
nx
m
n
sin mx
sin nx
m
n
x
0
lim
x
0
x
0
x
0
3. lim
x
tan x
1
9. lim
4. lim
tan x
x
1
10. lim
tan mx
tan nx
m
n
5. lim
sin mx
nx
m
n
11. lim
sin mx
tan nx
m
n
6. lim
nx
sin mx
n
m
12. lim
tan mx
sin nx
m
n
x
x
x
x
0
0
0
0
x
0
x
x
x
0
0
0
Ex. 15. Selesaikan:
a.
lim
x
0
tan 7x
5x
lim
x
0
tan 7x 7x
.
7 x 5x
7
5
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 6
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
b.
lim
x
0
tan3 5x
1
(10 x)2 . sin x
2
lim
x
2
tan 5x 5x
lim
.
x 0
5x 10 x
0
tan 5x
10
tan 5x
. lim
.
x 0
5x
2
.
tan 5x
1
sin x
2
1
x
5x
2
.
1
1
x
sin x
2
2
2
tan 5x
1
. lim
2 x 0 5x
. 1.1.10
2
1
.1 .10
2
5
2
sin2 x
c.
2
lim
x
x
2
1.1.
2
(3x)
sin x
2
lim
x
2
x
sin x
2
.
x
2
x
.
2
3x
2
0
3
2
0
Ex. 16. Hitunglah:
a.
b.
c.
lim
sin 4 x tan 3x sin 5x
2x
lim
cot 5p
cot 10 p
x
p
0
0
lim
x
1
2.1 1.
3
2
5
.1 1
2
3x 1 sin x 1
x 2 2x 3
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 7
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
d.
lim
p
0
tan p sin p
p cos p
Ex. 17. Selesaikan:
a.
cos x p
lim
p 0
p
cos x
2 sin
lim
p
0
1
1
2x p sin p
2
2
p
1
sin p
1
2
lim sin 2 x p .
p 0
1
2
p
2
1
lim sin 2 x p
p 0
2
1
sin p
2
lim
p 0
1
p
2
1
sin (2 x p).1
2
sin x
b.
c.
lim
tan x h
h
lim
sin x sin p
x p
h 0
x
p
tan x
In Ingat :
1. tan A B
tan A tan B
1  tan A. tan B
2. 2. sin A sin B 2 cos
3. cos A cos B
2 cos
1
1
A B sin A B
2
2
1
1
A B cos A B
2
2
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 8
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
d.
lim
x
1 2 cos x cos 2x
x2
0
Ingat :
cos 2 x 2 cos2 x 1
1.
lim
2.
x
1 cos mx
nx
0
2
3. 1 cos nx 2 sin2
1 2
m
2
n2
4.
1 cos ax
lim
x 0
bx2
n
x
2
1 2
a
2
b
a2
2b
3.
Latihan
1. Tentukan nilai :
a. lim
sin 7x tan 3x sin 5x
tan 9 x tan 3x sin x
b. lim
2x 2 x
sin x
x
x
0
0
c. lim
x
0
x 2 1 sin 6 x
x3
3x 2
2x
2. Tentukan nilai Pagar lim
x
tan 3x tan 3x cos 2x
0
4x 3
P2
2
3. Hitunglah :
a.
l i m ta n 3x s ec 2x
x
0
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 9
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
b.
lim cos ec 2 x cos ec x. cot x
x
2
4. Diketahui lim
x
0
x3
tan x sin x
A 2 , maka tentukan nilai dari A + 2.
5. Tentukan nilaia dan b yangmemenuhi persamaan :
a.
b.
lim
a cos x
bx sin x
lim
ax b
cos x
x
x
c.
0
2
1
2
ax sin x b
cos x 1
lim
x
2
0
1
6. Tentukan nilaidari :
a.
b.
c.
d.
lim
x
1
0
lim
x
1
lim
p
x2
1 sin x
0
1 sin x
x
0
lim
x
cos x
1 x2
sin x
1 cos 2p
2
2
sin p
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 10
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Latihan Soal
PENYELESAIAN
SOAL
1. UN 2011PAKET 12
1 cos 2 x
Nilai lim
=…
x 0 2 x sin2 x
a. 1
d. 1
b. 1
e. 1
8
2
6
c. 1
4
Jawab : d
2. UN 2011PAKET 46
1 cos 2x
Nilai lim
=…
x 0 1 cos 4 x
a.
1
2
d. 1
b.
1
4
e. 1
16
4
c. 0
Jawab : e
3. UN 2010PAKET A
cos 4 x sin3x
Nilai dari lim
= ….
x 0
5x
a.
5
3
d. 15
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 11
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
b. 1
c.
e. 0
3
5
Jawab : c
4. UN 2010PAKET B
sinx sin5x
Nilai dari lim
= ….
x 0
6x
a. 2
d. 13
b. 1
e. –1
c. 12
Jawab : b
5. UN 2009PAKET A/B
x 2 6x 9
Nilai dari lim
adalah ..
x
3 2 2 cos(2 x 6)
a. 3
b. 1
c.
d.
e.
Jawab : e
1
2
1
3
1
4
6. UN 2007PAKET A
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 12
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
2x sin3x
=…
0 1 cos6 x
Nilai lim
x
a. –1
d. 1
b. – 1
e. 1
3
3
c. 0
Jawab : d
7. UN 2007PAKET B
sin(x 2)
Nilai lim 2
=…
x 2x
3x 2
a. – 1
2
1
b. –
3
c.
0
d.
1
2
e. 1
Jawab : e
8. UN 2006
cos x sin
6 =…
x
3
6 2
Nilai lim
x
a. – 1
3
d. –2 3
b. – 1
3
e. –3 3
2
3
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 13
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
c. 3
Jawab : c
9. UN 2005
sin12 x
=…
2
0 2 x( x
2x 3)
Nilai lim
x
a. –4
b. –3
c. –2
d. 2
e. 6
Jawab : c
10. UN 2004
1 cos4 x
=…
0
x2
Nilai lim
x
a. –8
b. –4
c. 2
d. 4
e. 8
Jawab : e
11. UAN 2003
Nilai dari lim
x
4
cos2 x
=…
cos x sinx
a. – 2
b. – 12
c. 12
2
2
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 14
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
d. 2
e. 2 2
Jawab: d
12. EBTANAS 2002
1
1
sin x cos x
lim
1
1
x
x
4
4
....
a. –2 2
d. 2
b. – 2
e. 2 2
c. 0
Jawab : a
13. EBTANAS 2002
cos x cos5x
Nilai dari lim
=…
x 0
x tan2x
a. –4
b. –2
c. 4
d. 6
e. 8
Jawab : d
cos 2a cos 2b
adalah ....
a b
a b
– 4sin 2b
– 2sin 2b
sin 2b
2sin 2b
4sin 2b
14. Nilai lim
a.
b.
c.
d.
e.
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 15
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
15. Jika diketahui
1 sin x
p lim
x
q
1 sin x
2x
0
lim
x
4x 2
x
4x 2
dan
x , maka
nilai p + q adalah ....
a. 2
b. 1
c. 0
1
d.
2
1
e.
4
cos 4 x sin3x
16. Nilai dari lim
= ….
x 0
5x
a.
5
3
b. 1
c.
3
5
d.
1
5
e.
0
sin12 x
=…
0 2 x( x 2
2x 3)
17. Nilai lim
x
a. –4
b. –3
c. – 2
d. 2
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 16
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
e. 6
sin(x 2)
=…
2 x2
3x 2
18. Nilai lim
x
a. – 1
2
1
3
b.
c.
0
d.
1
2
e. 1
19. Nilai lim
x
cos x sin6
6
3
a.
1
3
2
b.
1
3
3
c.
3
d.
2 3
e.
3 3
x
2
=…
x 2 6x 9
adalah ....
3 2 2 cos(2 x 6)
20. Nilai dari lim
x
a. 3
b. 1
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 17
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
c.
1
2
d.
1
3
e.
1
4
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 18
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Daftar Pustaka
Nanang Priatna, Mathematics2. Grafindo.
Sukino,MatematikaXIIPA2B.PenerbitErlangga.
Sartono Wirodikromo, Matematika XIIPA. Penerbit Erlangga.
Sobirin, Fokus Matematika SMA.PenerbitErlangga
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 19
--------------------------------------------------------------------------------------SMA Santa Angela
Limit Fungsi Trigonometri XI IPA ====================== 20