Bab-1-Fungsi-peubah-banyak (2)

Fungsi peubah banyak
BAB I
FUNGSI PEUBAH BANYAK
1.1 FUNGSI DUA PEUBAH
Misalkan R adalah himpunan semua bilangan riil. Definisi fungsi dari R ke
dalam R telah diperoleh pada materi Matematika dasar I.
Misalkan f adalah pemetaan dari R ke dalam R yang ditulis sebagai :
Himpunan
{(
)|
( )
disebut fungsi dari R ke dalam R, yang
pada akhirnya dituliskan sebagai fungsi y = f(x).
R
f
y=f(x)
(x,y)
x
R
gambar 1. fungsi f atau y = f( x)
1
Fungsi peubah banyak
Hal tersebut sebagaimana digambarkan pada gambar 1.1 berlaku pula pada
fungsi dua peubah. Misalkan R 2 adalah himpunan semua pasangan bilangan riil,
{(
)|
Misalkan W adalah himpunan bagian di R2 dan misalkan pula f adalah pemetaan
dari W ke dalam R.
(
)
(
)
Maka seperti definisi fungsi riil, himpunan
{(
)|
(
) (
)
disebut fungsi dari W ke dalam R dan ditulis sebagai z = f(x,y). Dengan demikian
domain atau daerah definisi dari fungsi f yaitu W terletak pada bidang datar xy
(lihat gambar 1.2).
domain
R
W
(x,y)
R
z = f(x,y)
R
gambar 1.2 Pemetaan
Definisi 1.1
Jika f fungsi dua peubah, maka grafik fungsi dari f adalah himpunan semua titiktitik (x,y,z) di dalam ruang R3 dengan z = f(x,y) dan (x,y) adalah titik di dalam

domain f.
Contoh 2.1
g  x, y  
x 2  y 2  25
x
2
Fungsi peubah banyak
Domain dari g adalah himpunan semua pasangan (x,y) yang memenuhi
dan
dan
, sebab
x 2  y 2  25 akan bernilai riil jika
. Jadi domain g adalah himpunan (x,y) yang berada di luar dan pada
lingkaran x 2  y 2  25 , tapi x  0 .
gambar 1.3 Domain fungsi g
Contoh 1.2
(
)
√
Domain dari f atau Df adalah himpunan semua pasangan (x,y) yang memenuhi
25  x 2  y 2  0 sebab
x 2  y 2  25 . Jadi
25  x 2  y 2 bernilai riil jika 25  x 2  y 2  0 , atau
{(
)|
, lihat gambar 1.4.
Gambar 1.4 Himpunan titik dalam dan pada lingkaran
3
Fungsi peubah banyak
Grafik fungsi f merupakan permukaan setengah bola di atas bidang xy dengan
jari-jari 5 (lihat gambar 1.5).
Gambar 1.5. Grafik fungsi f
1.2. Limit Fungsi Dua Peubah
Definisi 1.2
Jika P(x,y) dan A(a,b) adalah dua titik di dalam R2, maka jarak antara P dan A
ditulis P  A , di mana
PA 
x  a 2   y  b2 .

y
A
b
y
(a,b)
P
(x,y)
x
a
x
gambar 1.6 Jarak P dan A di R2
Definisi 1.3 (Bola buka di R)
Misalkan A(a,b) titik di R2 dan r bilangan positif, maka bola buka B(A,r) adalah
sebuah himpunan titik-titik di dalam lingkaran berpusat di A dengan jari-jari r,
4
Fungsi peubah banyak
atau himpunan semua titik P(x,y) di R2 dimana jaraknya terhadap titik A adalah
P  A  r dan dinyatakan sebagai himpunan Bola buka berpusat di A dan
berjari-jari r,
(
)
)
{(
)
| √(
(
gambar 1.7 Bola buka (
)

}
)
Definisi 1.4
merupakan fungsi dua peubah yang terdefinisi pada bola buka (
Misalkan
dan (
) titik limit dari , maka
(
jika
(
) (
)
(
)
yang cukup kecil, maka terdapat
)
Dari
)
)
dan √(
gambar
8,
jika
(
(x,y)
)
di
sehingga untuk setiap
berlaku | (
dalam
bola
)
buka
L    f x, y   L   .
|
.
B(x0,y0,  ),
maka

Contoh 1.3
Buktikan bahwa
lim
 x , y   1,3
2 x  3 y 
 11 .
Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap   0 , terdapat
2 x  3 y 11   , dimana 0 
  0 sehingga
x  12   y  32   .
5
Fungsi peubah banyak
Dengan menggunakan sifat a  b  a  b diperoleh
2 x  3 y 11  2 x  2  3 y  9  2 x  1  3  y  3 .
Karena
x  12   y  32
x 1 
dan y  3 
x  12   y  32
maka
j2x + 3y ¡ 11j · 2jx ¡ 1j + 3jy ¡ 3j
p
p
· 2 (x ¡ 1)2 + (y ¡ 3)2 + 3 (x ¡ 1)2 + (y ¡ 3)2
p
= 5 (x ¡ 1)2 + (y ¡ 3)2
< 5±
sebab
x  12   y  32   .
0
Dengan memilih
1
5
  ,
maka
2 x  3 y 11  2 x  1  3 y  3  2  3  
dimana
0
x  12   y  32  
Jadi terbukti bahwa
lim
 x , y   1,3
2 x  3 y 
 11 .
Syarat cukup apakah yang diperlukan agar suatu limit fungsi dua peubah ada?
Untuk fungsi satu peubah, syarat cukup agar limit fungsi ada apabila limit kanan
sama dengan limit kiri atau
l i m f x  ada jika dan hanya jika
xa
l i m f x  =
x  a
l i m f x 
x  a
6
Fungsi peubah banyak
oleh karenanya dalam mendekati titik a, pendekatan dilakukan dari arah kiri dan
dari arah kanan.
.
x
a
x
Hal ini terjadi karena bola buka di R berbentuk Interval Buka. Sedangkan untuk
limit fungsi dua peubah, bola buka di R2 berbentuk himpunan titik (x,y) di dalam
lingkaran, oleh karenanya untuk mendekati titik limit (x0,y0) di dalam lingkaran
tersebut, dapat dilakukan dari sembarang arah (lihat gambar 1.8).
gambar 1.8 Cara mendekati
 x0 , y 0 
Berikut ini adalah sebuah ilustrasi tentang pendekatan ke titik (0,0) dari sebuah
bentuk limit dengan 4 contoh pendekatan saja.
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y 
Jika S1 adalah himpunan semua titik pada sumbu x positif, berarti y = 0, maka
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y  = l i m f x, 0 ,
x 0
 x, y  S1
Jika S2 adalah himpunan semua titik pada sumbu y negatif, berarti x = 0, maka
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y  = l i m f 0, y  ,  x, y  S 2
y 0
Jika S3 adalah himpunan semua titik pada garis y = x maka,
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y  = l i m f x, x  ,  x, y  S 3
x 0
Jika S4 adalah himpunan semua titik pada parabola y = x2 maka,
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y  = l i m f x, x 2  ,  x, y  S 4
x 0
7
Fungsi peubah banyak
Perhatikan gambar 1.9 berikut yang merupakan himpunan
S1 , S 2 , S 3 , S 4
mendekati titik (0,0) :
gambar 1.9 Pendekatan terhadap titik (0,0)
Jika pada limit fungsi satu peubah limit fungsi ada jika dan hanya jika
limit kiri sama dengan limit kanan , maka pada limit fungsi dua peubah ,
f x, y   L (ada)
lim
 x, y 
  x0 , y0 
jika dan hanya jika untuk setiap himpunan S yang memuat (x0,y0) berlaku :
lim
 x, y 
  x0 , y0 
f x, y   L
,  x, y  S
Contoh 1.5
Misalkan f x, y  
xy
, apakah
x  y2
2
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y  ada?
Ambil S1 himpunan semua titik pada sumbu x berarti y = 0, maka
lim
 x, y 
 0 , 0 
f x, y  = l i m f x, 0
x 0
= lim
x 0
0
 0 ,  x, y  S1
x 0
2
Ambil S2 himpunan semua titik pada garis y = x
8
Fungsi peubah banyak
maka
lim
 x, y 
karena
 0 , 0 
f x, y  = l i m
x 0
x2
1
 ,  x, y  S 2
2
2
2
x x
lim
f x, y  = 0 untuk (x,y)  S1 tidak sama dengan
lim
f x, y  =
1
untuk (x,y)  S2 berarti
2
lim
xy
x  y2
tidak ada.
 x, y 
 x, y 
 x, y 
 0 , 0 
 0 , 0 
2
 0 , 0 
Teorema. 1.1
Jika g fungsi dua peubah dengan limitnya di titik (
 x, y 
lim
  x0 , y0 
b, maka
 x, y 
) adalah
g x, y   b , dan f merupakan fungsi satu peubah yang kontinu pada
lim
  x0 , y0 
 f  g x, y   f b
atau
 x, y 
lim
  x0 , y0 


f g x, y    f  l i m
g x, y  .
 x , y    x0 , y0 


Bukti:
Misalkan f kontinu pada b jadi   1  0 terdapat  1  0 sehingga :
f z   f b   1 dimana z  b   1
Misalkan pula
 x, y 
lim
  x0 , y0 
……….(1.1)
g x, y   b , maka untuk setiap  1  0 terdapat  2  0
sedemikian hingga g x, y   b   1 untuk
0  x, y   x0 , y0    2
……….(1.2)
Dari persamaan (1.1) dan (1.2), z diganti dengan g(x,y) maka untuk setiap  1  0
terdapat  1  0 sedemikian hingga
f g x, y   f b  
untuk 0  x, y   x0 , y0    2
Dari sini disimpulkan bahwa :
9
Fungsi peubah banyak
 x, y 
lim
  x0 , y0 
 f  g x, y   f b
1.3. KONTINUITAS
Definisi 1.5
Fungsi f (dua peubah) dikatakan kontinu pada (x0,y0) jika memenuhi:
(
i.
ii.
iii.
) ada
lim(x;y)!(x0 ;y0 ) f (x; y) ada
lim
(x;y)!(x0 ;y0 )

f (x; y) = f (x0 ; y0 ).
Contoh 1.6
Selidikilah kontinuitas di titik (0,0) untuk fungsi
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
Dengan menggunakan definisi 1.5,
i.
ii.
iii.
f(0,0) = 0 ada
lim
f x, y  =
lim
f x, y   f 0,0  0
 x, y 
 x, y 
 0 , 0 
 0 , 0 
lim
 x, y 
 0 , 0 
3x 2 y
0
x2  y2
Jadi f(x,y) kontinu di titik (0,0).
Contoh 1.7
Selidikilah kekontinuitas fungsi berikut di (0,0),
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
Dengan cara yang sama dengan contoh 1.6 diperoleh nilai fungsi ada, (
)
.
Tapi nilai limit tidak ada, hal ini telah ditunjukkan dengan dua pendekatan
terhadap (0,0) untuk limit ini memberikan hasil berbeda pada contoh 1.5. Jadi
disimpulkan bahwa fungsi tidak kontinu di (0,0).
10
Fungsi peubah banyak
Teorema 1.2
Jika f dan g fungsi yang kontinu di (
1.
kontinu di (
)
2.
kontinu di (
)
3.
kontinu di (
) maka
) asalkan (
)

.
Bukti
Analog pada fungsi kontinu satu peubah (kalkulus I).
Teorema 1.3
Misalkan
fungsi satu peubah dan
pada (
) dan
kontinu pada (
kontinu pada
adalah fungsi dua peubah. Jika
kontinu
), maka fungsi komposisi
juga
(

).
Bukti
kontinu pada (
), maka untuk setiap  1  0 terdapat  1  0 sehingga
f z   f  g x0 , y0    1
untuk
z  g  x0 , y 0    1
… (1.3)
g kontinu pada g (x0,y0) maka untuk setiap  1  0 terdapat  2  0 sehingga
g x, y   g x0 , y0    1
dimana
0  x, y   x0 , y0    2
………. (1.4)
dari persamaan (1.3) dan (1.4) dan z diganti dengan g (x,y) , maka diperoleh ;
  1  0 terdapat  2  0 sehingga :
f g x, y   f  g x0 , y0    1
untuk
x, y   x0 , y0 
 2
atau
f  g kontinu di (x0,y0).
Contoh 1.8
Tentukan daerah agar fungsi hx, y   l n xy  1 kontinu.
Misalkan g x, y   xy  1 dan f(t) = ln t.
11
Fungsi peubah banyak
Karena fungsi f(t) = ln t
kontinu untuk t > 0, maka
h(x,y) = ( f  g )(x,y) = f(g(x,y)) = ln g(x,y),
kontinu untuk g(x,y) > 0 atau
xy – 1 > 0.
Dengan kata lain, hx, y   l n xy  1 kontinu jika xy > 1 (lihat gambar 1.10).
Gambar 1.10. Daerah kekontinuan fungsi h
LATIHAN
I.
Tentukan Domain (daerah definisi) dari fungsi di bawah ini :
1. f x, y  
25  x 2  y 2
x
3. f x, y  
x
5. f x, y  
7. f x, y  
25  x  y
2
x2  y2
x y
2
2. f x, y   x 25  x 2  y 2
4. f x, y  
6. f x, y  
x y
x y
x y
xy
x
y
12
Fungsi peubah banyak
II.
Jika h adalah fungsi komposisi dari f dan g , tentukan domain dan daerah
jelajah dari h , jika :
III.
1. f(t) = arc sin t
dan
g x, y   1  x 2  y 2
2. f( x,y ) = x – y
dan
g t   t
3. f(t) = arc tg t
dan
g x, y   x 2  y 2
Tentukan nilai   0 , untuk setiap   0 sehingga
1.
2.
3.
IV.
lim
3x  4 y  1
lim
5x  3 y   2
lim
x
 x, y 
 x, y 
 x, y 
 3, 2 
  2, 4 
 1,1
2

 y2  2
Selidiki apakah fungsi di bawah ini limitnya ada , jika ada, carilah nilai
limitnya untuk x, y   0,0 .
V.
1. f x, y  
x2  y2
x2  y2
2. f x, y  
x2
x2  y
3. f x, y  
x3  y3
x2  y2
4. f x, y  
x 4  3x 2 y 2  2 xy 3
(x 2  y 2 )2
5. f x, y  
x2  y2
x3  y3
6. f x, y  
xy
x2  y2
Selidiki apakah fungsi berikut ini kontinu di titik (0,0) ?
xy

 2
1. f x, y    x  y 2

0

,Jika (x,y)  (0,0)
 x2 y

2. f x, y    x 2  y 2
 0
,Jika (x,y)  (0,0)
 x y

3. f x, y    x 2  y 2
 0
,Jika (x,y)  (0,0)
,Jika (x,y) = (0,0)
,Jika (x,y) = (0,0)
,Jika (x,y) = (0,0)
13
Fungsi peubah banyak
VI.
 x3  y3

4. f x, y    x 2  y 2
 0
,Jika (x,y)  (0,0)
 xy

5. f x, y    x  y

 0
,Jika (x,y)  (0,0)
,Jika (x,y) = (0,0)
,Jika (x,y) = (0,0)
Tentukan daerah kekontinuan fungsi di bawah ini :
1. f x, y  
3. f x, y  
x
x2  y2  4
xy
16  x  y
2
2
2. f x, y  
4. f x, y  
x2  y2
9  x2  y2
x
4 x  9 y 2  36
2
14