tutorial grafik

TUGAS AKHIR MODUL 3
Nama
: Angel Gustina Kencana
No Peserta PPG : 19100518010158
Bidang Studi
: Matematika
Assalamu’alaykum warahmatullaahi wabarakatu,
1. Buktikan secara formal Teorema berikut.
Jika fungsi 𝑓,:𝐼→𝑅, 𝑎∈𝐼, lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)=𝐿, dan 𝑓 kontinu di titik 𝐿, buktikan bahwa
lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(lim 𝑔(𝑥))
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Pembuktian
Misalkan ambil 𝑓 = 0 maka jelas 𝑓(𝑔(𝑥)) = 0 adalah benar.
Oleh karena itu kita andaikan 𝑓 0. Misalkan diberikan >0. Menurut hipotesis,
lim 𝑔(𝑥) ada, sebut nilainya adalah L.
𝑥→𝑎
Sesuai definisi limit, terdapat suatu bilangan  sedemikian hingga 0 < |x-a| <  

| 𝑔(𝑥) − 𝐿| < bilangan positif. Pada defisini limit mensyaratkan bahwa untuk
𝑓
sebarang bilangan positif, terdapat suatu , maka kita dapat menyatakan bahwa 0 <

|x-a| <  sehingga berarti | 𝑓. 𝑔(𝑥) − 𝑓𝐿| = |𝑓||. 𝑔(𝑥) − 𝐿| < |𝑓| = 
𝑓
Ini menunjukkan bahwa lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓𝐿 = 𝑓(lim 𝑔(𝑥)).
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
2. Diberikan𝑓 𝑥 =𝐴𝑥3+𝐵𝑥2+𝐶𝑥+𝐷 dengan 𝐴>0. Tunjukkan bahwa 𝑓 mempunyai sebuah
maksimum lokal dan sebuah minimum lokal jika dan hanya jika 𝐵2−3𝐴𝐶>0.
Petunjuk pengerjaan:
a. Hitung 𝑓′ (𝑥) dan 𝑓′′(𝑥).
b. Tentukan bilangan kritis dari 𝑓 dan syarat 𝑓 mempunyai dua bilangan kritis.
c. Gunakan uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis.
Menghitung 𝑓′ (𝑥) dan 𝑓′′(𝑥)
(𝑥) = 𝐴𝑥3+𝐵𝑥2+𝐶𝑥+𝐷
𝑓’(𝑥) = 3𝐴𝑥2+2𝐵𝑥+𝐶
𝑓’’(𝑥) = 6𝐴𝑥+2𝐵
Menentukan bilangan kritis
𝑓’(𝑥) = 0
𝑓’(𝑥) = 3𝐴𝑥2+2𝐵𝑥+𝐶
0 = 3𝐴𝑥2+2𝐵𝑥+𝐶
𝑥1.2 =
=
=
=
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−2𝐵±√(2𝐵)2 −4(3𝐴)𝐶
2(3𝐴)
−2𝐵±√𝐵2 −3𝐴𝐶
6𝐴
−𝐵±√𝐵2 −3𝐴𝐶
3𝐴
Bilangan kritis 𝑥1 =
−𝐵±√𝐵2 −3𝐴𝐶
3𝐴
Substitusikan bilangan kritis
−𝐵±√𝐵2 −3𝐴𝐶
𝑓’’(𝑥) = 6𝐴𝑥+2𝐵
2
−𝐵±√𝐵 −3𝐴𝐶
= 6𝐴(
)+2𝐵
3𝐴
= 2(−𝐵 + √𝐵 2 − 3𝐴𝐶) + 2B
= − 2B + 2√𝐵 2 − 3𝐴𝐶+2B
= 2√𝐵 2 − 3𝐴𝐶
3𝐴
ke 𝑓’’(𝑥)
Jadi 2√𝐵 2 − 3𝐴𝐶 > 0
√𝐵 2 − 3𝐴𝐶 > 0
𝐵 2 − 3𝐴𝐶 > 0
3. (a) Lukislah daerah D yang dibatasi oleh 𝑓(𝑥) =𝑥+2, sumbu 𝑋, 𝑥=−2, dan 𝑥=3,
3
kemudian hitung (i) ∫−2(x + 2 )𝑑𝑥 dan (ii) luas daerah D dengan berbagai cara yang
Anda ketahui. Apakah yang dapat Anda simpulkan tentang luas daerah?
(b) Dengan menggunakan daerah D pada (a), hitunglah volum benda yang terjadi
apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu 𝑋 menggunakan metode cakram dan
rumus kerucut. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban tersebut.
Penyelesaian
a. grafik Daerah D yang dibatasi oleh 𝑓(𝑥) =𝑥+2, sumbu 𝑋, 𝑥=−2, dan 𝑥=3
6
5
Название оси
4
3
Y-Values
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
Название оси
3
1
(i) ∫−2(x + 2 )𝑑𝑥 = [2 𝑥 2 + 2𝑥]
1
1
3
−2
= (2 32 + 2.3) − (2 (−2)2 + 2. (−2))
9
4
2
2
= ( + 6) − ( − 4)
9
= ( + 6 − 2 + 4)
2
2
3
4
=
25
2
(ii) luas daerah =
1
2
=
=
×a×t
1
2
×5×5
25
2
satuan
4. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut.
(a) 𝑦2 (𝑦+1) 𝑑𝑥 + 𝑦2 (𝑥−1) 𝑑𝑦 = 0
(b) (3𝑥+2𝑦) 𝑑𝑥 + (2𝑥+𝑦) 𝑑𝑦 = 0
Penyelesaian
a. 𝑦2 (𝑦+1) 𝑑𝑥 + 𝑦2 (𝑥−1) 𝑑𝑦 = 0 dibagi kedua ruas dengan 𝑦2 (𝑦 +1)(𝑥−1)
1
𝑥−1
𝑑𝑥 +
1
𝑦+1
1
𝑑𝑦 =0
1
∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 ∫ 𝑦+1 𝑑𝑦 =0
ln(𝑥 − 1) + ln(𝑦 + 1) = ln 𝐶
ln(𝑦 + 1) = ln 𝐶 − ln(𝑥 − 1)
𝑐
ln(𝑦 + 1) = ln 𝑥−1
𝑦 + 1=
𝑦=
𝑐
𝑥−1
𝑐−𝑥+1
𝑥−1