Rotasi benda tegar - Teknik Industri UMS

09/01/2013
ROTASI
BENDA TEGAR
Kompetensi
• Mampu menjelaskan dan melakukan analisa
Rotasi benda tegar
1
09/01/2013
KECEPATAN SUDUT
DAN PERCEPATAN SUDUT
lintasan titik P
Panjang busur lintasan : s = rθ
Posisi sudut :
θ =s r
P
r
θ
(10.1b)
Kecepatan sudut rata-rata :
θ − θ ∆θ
ω≡ 2 1=
∆t
t2 − t1
Kecepatan sudut sesaat :
∆θ
dθ
ω ≡ lim
=
dt
∆t →0 ∆t
Percepatan sudut rata-rata :
Q,t2
r
(10.1a)
α ≡
P,t1
r θ2
θ1
(10.2)
(10.3)
∆ω
∆t
(10.4)
∆ω dω
=
∆t
dt
(10.5)
ω 2 − ω1
t2 − t1
=
Percepatan sudut sesaat :
α ≡ lim
∆t → 0
GERAK ROTASI UNTUK PERCEPATAN SUDUT TETAP
konstan
ω (t )
t
∫ωo dω = ∫0 αdt
dω
α=
dt
ω (t ) − ω o = αt
ω (t ) = ωo + αt
ω=
dθ
dt
(10.6)
θ (t )
t
∫θo dθ = ∫0 ωdt
θ (t )
t
∫θo dθ = ∫0 (ω o + αt )dt
θ (t ) − θ o = ω ot + 12 αt 2 (10.7)
ω 2 = ω o2 + 2α (θ − θ o ) (10.8)
GLBB
v (t ) = vo + at
s (t ) − so = vot + 12 at 2
v =
2
vo2
Adakah relasi antara besaran sudut dan besaran linier ?
+ 2a ( s − so )
2
09/01/2013
RELASI BESARAN SUDUT DAN LINIER
Kecepatan linier :
ds
v=
dt
s = rθ
ω
v
P
r
θ
v=r
dθ
dt
v = rω
panjang lintasan
(10.9)
Percepatan tangensial :
at =
a
ar
at = rα
Percepatan radial :
v2
ar =
= rω 2
r
ω
at
dv
dω
=r
dt
dt
P
(10.10)
(10.11)
a = at2 + ar2 = r 2α 2 + r 2ω 4 = r α 2 + ω 4 (10.12)
ENERGI KINETIK ROTASI
Energi kinetik partikel ke i :
vi
ri
θ
vi = riω
K i = 12 mi vi2
ω
Energi kineti seluruh benda :
mi
K = ∑ K i = ∑ 12 mi vi2 = 12 ∑ mi ri2ω 2
(
)
K = 12 ∑ mi ri2 ω 2
∆m
(10.13)
Momen kelembaman
I = ∑ mi ri2
(10.14)
K = 12 Iω
(10.15)
2
Momen kelembaman untuk benda pejal :
rapat massa :
∆m dm
ρ = lim
=
∆ V → 0 ∆V
dV
I = lim ∑ r 2 ∆m = ∫ r 2 dm
∆m→0
dm = ρdV
(10.16)
I = ∫ ρr 2 dV
3
09/01/2013
Teorema Sumbu Sejajar
Jika Ic adalah momen kelembaman benda terhadap sumbu putar yang melalui
pusat massanya, maka momen kelembaman benda terhadap sembarang
sumbu putar yang sejajar dan berjarak d dari sumbu tersebut adalah :
I = I c + Md 2
(10.17)
C
d
O
MOMEN GAYA
F3
F1
r3
d1
τ ≡ rF sin φ
r sin φ = d
τ = Fd
(10.18)
τ net = τ 1 + τ 2 = F1d1 − F2 d 2
r1
Bagaimana keterkaitan momen gaya dengan besaran sudut ?
d2
r2
φ
F2 cos φ τ = Ft r
Ft = mat
F2
F2 sin φ
τ = (ma t ) r
a t = rα
τ = (mrα ) r
τ = (mr 2 )α
τ = Iα
(10.19)
Ft
r
m
4
09/01/2013
Usaha dan Energi
F
F sinφ
=τ
Usaha :
dW = F ⋅ ds = ( F sin φ ) rdθ
dW = τ dθ
ds
dθ
φ
P
τ = Iα = I
dω
dω dθ
dω
=I
=I
ω
dt
dθ dt
dθ
dW = Iω dω
ωt
W = ∫ω Iω dω
o
= 12 Iω t2 − 12 Iω o2
Usaha yang dilakukan oleh gaya luar untuk memutar benda tegar terhadap
sumbu tetap sama dengan perubahan energi kenetik rotasi benda tersebut !
5