rotasi benda tegar

ROTASI
BENDA TEGAR
KECEPATAN SUDUT
DAN PERCEPATAN SUDUT
lintasan titik P
r
θ
θ =s r
(1b)
Kecepatan sudut rata-rata :
θ − θ Δθ
ω≡ 2 1=
Δt
t2 − t1
Kecepatan sudut sesaat :
Δθ
dθ
ω ≡ lim
=
dt
Δt →0 Δt
Percepatan sudut rata-rata :
Q,t2
r θ2
θ1
(1a)
Posisi sudut :
P
r
Panjang busur lintasan : s = rθ
P,t1
(2)
(3)
Δω
Δt
(4)
Δω dω
=
dt
Δt →0 Δt
(5)
α≡
ω 2 − ω1
t2 − t1
=
Percepatan sudut sesaat :
α ≡ lim
GERAK ROTASI UNTUK PERCEPATAN SUDUT TETAP
konstan
α=
ω (t )
t
∫ωo dω = ∫0 αdt
dω
dt
ω ( t ) − ω o = αt
ω ( t ) = ω o + αt
ω=
dθ
dt
(6)
θ (t )
t
∫θo dθ = ∫0 ωdt
θ (t )
t
∫θo dθ = ∫0 (ω o + αt )dt
θ (t ) − θ o = ωo t + 12 αt 2 (7)
ω 2 = ωo2 + 2α (θ − θ o ) (8)
GLBB
v (t ) = vo + at
s (t ) − so = vo t + 12 at 2
v 2 = vo2 + 2a ( s − so )
Adakah relasi antara besaran sudut dan besaran linier ?
RELASI BESARAN SUDUT DAN LINIER
ω
v
P
r
θ
Kecepatan linier :
ds
v=
dt
s = rθ
panjang lintasan
dθ
dt
v = rω
v=r
(9)
Percepatan tangensial :
at =
ω
at
a
ar
P
dv
dω
=r
dt
dt
at = rα
Percepatan radial :
v2
ar =
= rω 2
r
(10)
(11)
a = at2 + ar2 = r 2α 2 + r 2ω 4 = r α 2 + ω 4 (12)
ENERGI KINETIK ROTASI
Energi kinetik partikel ke i :
K i = 12 mi vi2
ω
vi
ri
θ
vi = riω
Energi kinetik seluruh benda :
mi
K = ∑ K i = ∑ 12 mi vi2 = 12 ∑ mi ri2ω 2
(
)
K = 12 ∑ mi ri2 ω 2
Δm
(13)
Momen kelembaman
I = ∑ mi ri2
(14)
K = 12 Iω 2
(15)
Momen kelembaman untuk benda pejal :
rapat massa :
Δm dm
ρ = lim
=
ΔV →0 ΔV
dV
I = lim ∑ r 2 Δm = ∫ r 2 dm
Δm→0
dm = ρdV
I = ∫ ρr 2 dV
(16)
Teorema Sumbu Sejajar
Jika Ic adalah momen kelembaman benda terhadap sumbu putar yang melalui
pusat massanya, maka momen kelembaman benda terhadap sembarang
sumbu putar yang sejajar dan berjarak d dari sumbu tersebut adalah :
I = I c + Md 2
C
d
O
(17)
MOMEN GAYA
F3
F1
r3
d1
τ ≡ rF sin φ
r sin φ = d
τ = Fd
(18)
τ net = τ 1 + τ 2 = F1d1 − F2 d 2
r1
Bagaimana keterkaitan momen gaya dengan besaran sudut ?
d2
r2
φ
Ft
m
Ft = mat
F2
F2 sin φ
r
F2 cos φ τ = Ft r
τ = ( mat ) r
at = rα
τ = ( mrα ) r
τ = ( mr 2 )α
τ = Iα
(19)
Usaha dan Energi
F
F sinφ
=τ
Usaha :
dW = F ⋅ ds = ( F sin φ ) rdθ
dW = τ dθ
ds
dθ
φ
P
τ = Iα = I
dω
dω dθ
dω
=I
ω
=I
dt
dθ dt
dθ
dW = Iω dω
ωt
W = ∫ω Iω dω
o
= 12 Iω t2 − 12 Iω o2
Usaha yang dilakukan oleh gaya luar untuk memutar benda tegar terhadap
sumbu tetap sama dengan perubahan energi kenetik rotasi benda tersebut !