Fungsi Probabilitas Kumulatif (Fungsi Sebaran)

Fungsi Probabilitas
Kumulatif (Fungsi Sebaran)
Untuk Satu Peubah Acak
Fungsi Probabilitas Kumulatif
(Fungsi Sebaran) Diskrit
Misalkan X1, X2, X3, …, Xn
merupakan peubah acak diskrit
dengan fungsi probabilitas p(x) > 0,
maka fungsi sebaran bagi peubah
acak tersebut dapat ditulis sebagai
berikut
F ( x) = P(X  x) =

Xx
p(x)
Contoh :
Fungsi Probabilitas Kumulatif
(Fungsi Sebaran) Kontinu
Bila X1,
X2,
X3,
…,
Xn
merupakan peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan probabilitas
f(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi
peubah acak tersebut dapat ditulis
sebagai berikut
x
F (x ) = P( X  x) =
 f(x) dx
-
Contoh :
Sifat–sifat dari fungsi sebaran F(x):
Baik untuk peubah acak diskrit
ataupun untuk peubah acak kontinu,
terdapat beberapa sifat dari fungsi
sebaran sebagai berikut ;
1. F (- ~) = P (X  - ~ ) = 0
2. F (+~) = P (X  + ~) = 1
3. Monoton tidak turun :
F(x1)  F(x2) untuk x1 >x2
im F ( x  h)  F ( x)
0h0
4. Kontinu dari sebelah kanan :
5. P(a < X  b)
= P(X  b) - P(X  a)
= F(b) - F(a)
6. P(a  X  b)
= P(X  b) - P(X < a)
= F(b) - F(a) + P(X = a)
7. P(a  X < b)
= P(X <b) - P(X < a)
= F(b)- F(a) - P(X = a) + P(X=b)
8. P(a < X < b)
= P(X < b)-P(X  a)=F(b)-F(a) +
P(X = b)
Contoh 1 :
Peubah X1, X2, X3, X4 merupakan
sampel acak berukuran 4 yang menyebar binomial dengan probabilitasnya sama dengan 0.50 dan fungsi
probabilitas p(x) sebagai berikut :
x
4 x
4!
 1  1
P(x) =
   
x! (4 - x)!  2  2
probabilitas untuk seluruh nilai x dan
sebaran probabilitas kumulatif, disertai
gambar grafiknya adalah sebagai
berikut
p(x) :
P(0) 
0
4
4!
1
 1  1
=
   
0! (4 - 0)!  2  2
16
4
6
4
; P(2) =
; P(3) =
; dan
16
16
16
1
P ( 4) 
16
P (1) =
Fungsi sebarannya adalah
F(x) = P ( X  x ), untuk x = 0, 1, 2, 3,
4 dapat diperoleh nilai-nilai F(x) sebagai berikut :
F (0) =
1
5
; F(1) = F(0) + P(1) =
16
16
F ( 2) = F(1) + P(2) =
F(4) =
11
15
; F(3) =
; dan
16
16
16
=1
16
Grafik dari P(X=x) = p(x) dan F(x)
dapat dilihat sebagai berikut
P(X)
16/16
8/16
4/16
0
1
2
3
4
2
3
4
X
F(X)
16/16
8/16
4/16
0
1
X
Contoh 2 :
Peubah X kontinu dengan fungsi
kepekatan probabilitas f(x) sebagai
berikut :
 2e -2x , x > 0
f ( x) =  0
, x  0

a. Gambarkan grafik f(x)
b. Gambarkan F(x) = P( X  x )
c. Cari P ( 2 < x < 4 ) = P (2  X  4 )
berlaku untuk peubah kontinyu.
Di mana e = 2,7182818  2,718
Penyelesaian :
Fungsi kepekatan probabilitas dari
peubah X yang kontinu adalah f(x), sedemikian rupa sehingga
b
P ( a < X  b ) =  f(x) dx
a
dengan

f(x)  0 dan
 f(x) dx = 1
-
kurva f(x) dan P ( a  X  b ), f(x) =
fungsi kepekatan Probabilitas, bukan
fungsi probabilitas
f(x)
A
a
b
x
b
A = P (a  X  b) = P (a < X < b) =  f(x) dx
a
= luas daerah yang diarsir
Apabila F(x) diketahui maka f(x) dapat
ditentukan dengan
f(x) =
d F(x)
dx
turunan dari fungsi probabilitas
kumulatif