Nilai Ekstrim - Universitas Brawijaya

TKS 4003
Matematika II
Nilai Ekstrim
(Extreme Values)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Fungsi Dua Peubah
• Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga–harga dua peubah
bebas x dan y (dari beberapa domain D), terdapat korespondensi
harga–harga tertentu, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari
dua peubah bebas x dan y yang tertentu di dalam domain D.
Secara simbolis, fungsi dari dua variabel dituliskan dengan z =
f(x,y).
• Kumpulan pasangan–pasangan (x,y) dari harga–harga x dan y
untuk fungsi z = f(x,y) tertentu, disebut daerah asal atau domain
(D). Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka diambil D yang
berupa daerah asal mulanya (natural domain), yaitu himpunan
semua titik (x,y) pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan
menghasilkan suatu bilangan riil.
Fungsi Dua Peubah (lanjutan)
• Ilustrasi secara grafis :
Z
S

Z=f(x,y)
a
c
d
b
X
(x,y)
Y
f : D  (x,y)D dan z = f(x,y)  pada bidang S
Maksimum dan Minimum
• Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal
(maksimum relatif) dimana x = a jika f (a) lebih besar dari
sembarang nilai f(x) lainnya dari x sekitar a, dan dikatakan
mempunyai minimum lokal (minimum relatif) pada x = a, jika
f(a) lebih kecil dari sembarang nilai f(x) lain untuk x di sekitar a.
• Maksimum dan minimum lokal suatu fungsi ini adalah
maksimum dan minimum untuk jarak tertentu yang berdekatan,
sedangkan maksimum dan minimum absolut dari suatu fungsi
mempunyai jarak yang lebih besar lagi dan terketak pada titik
yang paling tinggi atau paling rendah dari jarak tersebut,
melebihi maksimum atau minimum lokal yang manapun.
Maksimum dan Minimum
(lanjutan)
• Jadi dapat dikatakan bahwa f(x) mempunyai nilai maksimum
absolut pada nilai x = a1 dalam batas b ≤ x ≤ c, jika nilai f(x)
pada x = a1 mempunyai nilai paling tinggi, f(a1) > f(x).
• Sedangkan f(x) mempunyai nilai maksimum lokal pada dalam
batas b ≤ x ≤ c, jika nilai f(x) pada x = a2. Dengan cara yang
sama dapat pula diterangkan konsep minimum absolut dan
minimum lokal.
Maksimum dan Minimum
(lanjutan)
• Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum
kurvanya berbentuk cembung ke atas (convex upward) dan
fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk
cembung ke bawah (convex downward).
• Bisa juga terjadi bahwa suatu nilai maksimum lokal dari suatu
fungsi lebih kecil dari nilai minimum lokal dari fungsi tersebut
dalam suatu jarak tersebut.
Nilai Ekstrim
• Nilai maksimum dari fungsi z = f(x,y) dicapai pada pasangan
nilai variabel-variabel bebas x dan y adalah nilai terbesar dari
fungsi f(x,y) dalam suatu lengkungan dari titik (x0,y0,0) dan nilai
minimum dari z = f(x,y) adalah nilai terkecil di lengkungan dari
titik (x1,y1,0).
• Ada beberapa batasan yang harus diperhatikan untuk mengetahui
nilai ekstrim suatu fungsi, yaitu :
1. Fungsi z = f(x,y) mempunyai nilai maksimum di (x0,y0) jika
terdapat bilangan-bilangan positif S1 dan S2 , sehingga
berlaku : ∀ (x,y) ∈ H = { (x,y) | |x-x0|< S1, (x,y) | |y-y0| <
S2 } berlaku f(x0,y0) ≥ f(x,y).
Nilai Ekstrim (lanjutan)
2. Fungsi z = f(x,y) mempunyai nilai minimum jika f(x0,y0) ≤
f(x,y).
3. Jika fungsi z = f(x,y) di (x0,y0) mencapai nilai maksimum atau
minimum, maka fungsi z = f(x,y) mencapai nilai ekstrim dan
titiknya disebut dengan titik ekstrim.
4. Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan dan jika T
𝐝𝐳
adalah titik pada permukaan. Jika berlaku
𝐓 = 𝟎 dan
𝐝𝐳
𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐓 = 𝟎, maka T disebut titik stasioner pada permukaan.
Nilai Ekstrim (lanjutan)
Jika Δ > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) adalah nilai maksimum
lokal f.
ii. Jika Δ > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) adalah nilai minimum
lokal f
iii. Jika Δ > 0, maka f(a,b) adalah bukan suatu nilai ekstrem f.
iv. Jika Δ = 0, maka uji ini tak berkeputusan.
i.
Nilai Ekstrim (lanjutan)
• Pandang f suatu fungsi dua peubah yang kontinu dalam suatu
daerah segi empat terbuka H di bidang xy, jika (a,b) suatu titikdalam di dalam H dan jika fx(a,b) dan fy(a,b) ada, maka syarat
perlu agar f(a,b) menjadi suatu nilai ekstrem f adalah fx(a,b) =
fy(a,b) = 0 atau ∇f (a,b) = 0.
• Pandang f suatu fungsi dua peubah yang kontinu yang
mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu juga
dalam suatu daerah segi empat terbuka H di bidang xy. Misalkan
(a,b) suatu titik dalam H dengan ∇f (a,b) = 0, dan jika Δ =
fxx(a,b)fyy(a,b) – fxy2(a,b), maka :
Contoh
Suatu tangki logam dengan atasnya terbuka memuat 256 kaki kubik
cairan. Tentukan ukuran tangki tersebut yang memerlukan bahan
seminimum mungkin pada pembuatannya?
Penyelesaian :
Contoh (lanjutan)
Syarat batas :
Contoh (lanjutan)
Substitusi (1) ke (2) :
Contoh (lanjutan)
Dimensi dan Kebutuhan Bahan :
Latihan
•
•
Suatu talang terbuka yang penampangnya suatu trapesium
sama kaki akan dibuat dari selembar panjang logam
dengan lebar 12 inchi, dengan cara menekuk untuk
membuat sisi-sisinya. Tentukan sudut alas talang itu dan
kedua sisinya agar muatan talang dapat maksimum!
Tentukan ukuran suatu kotak segi empat terbuka atasnya
yang mempunyai volume maksimum apabila luas
permukaan 48 m2!
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!