kalkulus_8_fungsi maksimum dan minimum

NILAI MAKSIMUM FUNGSI
KUADRATA ?
y
1
y = x2 – 8x + 12
1
2
2
0
4
8
2
4
6
x
NILAI MAKSIMUM FUNGSI
KUBIK ?
2
y
8
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3
3.6
7
2
0
2
46
2
3
4
x
PROSEDUR PENENTUAN NILAI EKSTRIM
Langkah2 utk mendapatkan nilai ekstrim
suatu fungsi, sebut y = f(x):
1. Cari turunan pertama dari y, yaitu
y’=dy/dx
2.
Samakan y’ dengan 0 (nol), yaitu
y’ = 0;
-> Selesaikan persamaan ini utk
mendapatkan nilai x*
yg membuat y bernilai ekstrim
PENGUJIAN DENGAN TURUNAN II
1.
2.
Cari turunan ke-2, dari y, yaitu
y’’ = dy’/dx;
masukkan nilai x* (diperoleh dari persamaan y’ = 0)
ke turunan II
3.
Jika y’’ > 0 berarti y bernilai minimum
4.
Jika y” < 0 berarti y bernilai maksimum
Titik ekstrim fungsi parabolik
 Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna
untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
 Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui
jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
 Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim –
dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)
y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4  dimasukkan ke
dalam persamaan Parabola  didapat nilai y = -4
y
y = x2 – 8x + 12
12
2
0
-4
-8
2
4
(4,-4)
6
x
 Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0
 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah,
titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik
ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
 Titik maksimum atau minimum fungsi kubik,
serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan
pertama dan kedua dari fungsi tersebut.
 Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik
y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik
y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear
 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3
 Jika y’ = 0,
x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4
 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan awal 
maka y = 3.67 (2, 3.67)  titik ekstrim
Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke
dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif 
titik ekstrim diatas maksimum)
 Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan awal
maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim
Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke
dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif 
tittik ekstrim diatas minimum)
y
y’ = x2 – 6x + 8
8
y’’= 2x – 6
(2,3.67)
3.67
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3
(3,3)
(4,2.33)
y” = 2
2
0
-2
-4
-6
2
3
(3,-1)
4
x
 Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ =
0
 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah
titik maksimum
 Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah
titik minimum
 Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0
BEBERAPA KASUS MAKSIMUM
ATAU MINIMUM DLM KEHIDUPAN
SEHARI-HARI
 Menghasilkan keuntungan maksium
 Menghasilkan biaya minimum
 Tingkat utilitas/pemggunaan mesin maksimum
 dsb
Strategi Penyelesaian
Permasalahan Maksimum dan Minimum
Bacalah permasalahan dengan teliti
Tentukan informasi-informasi yang Anda butuhkan
Gambarkan permasalahan dalam model yang mudah dipahami!
Buatlah variabel yang akan diamati untuk menyelesaikan
permasalahan
 Tuliskan sebuah fungsi yang memberikan informasi nilai ekstrim
yang akan dicari




 Tentukan titik-titik x* yang memenuhi
f ’(x) = 0
• Gunakan dasar-dasar perhitungan untuk memperoleh
titik-titik tersebut.
 Hitunglah nilai maksimum/minimum dengan memasukkan nilai
x* ke fungsi semula

.
Contoh maks/min
Y = x3 – 6x2 + 9x + 5
 Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua
bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum
 Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 200m
akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya
persegi panjang, tentukan ukuran kandang agar luas
kandang maksimum
 Fungsi keuntungan (Z) suatu usaha “FM” yg
memproduksi barang kerajinan “H” sebanyak Q
adalah:
Z = - Q3 + 57 Q2 – 315Q – 2000
Berapakah Q agar keuntungan maskimum?
Jawaban soal cerita 1
 Misal bilangan tersebut a





dan b maka a + b = 30;
a = 30 – b, misal Hasil
kali kedua bilangan = P
P =axb
= (30 – b)xb
= 30b – b2
P akam maksimum, jika
P’ = 0
 P’ = 30 – 2b = 0
 30 – 2b = 0
 2b = 30
 b = 15
 Masukkan nilai b ke
fungsi pertama
 a = 30-15 = 15
 Jadi b = 15 dan a = 15
 Hasil kali maksimum =
15 x 15 = 225
Jawaban soal cerita 2
 Keliling kandang = 2p +






2l
2p + 2l = 200
p + l = 100
l = 100 - p
Luas = L = p x l
L = p x ( 100 – p)
L = 100p – p2
 Luas akan maksium jika
turunan pertamanya = 0
 L’=0
 L’=100-2p=0
 2p =100
 p = 50
 l = 50
 Luas maksimumnya = 50
x 50 = 2500
Solusi
Turunan I : dZ/dQ = Z’ = -3Q2 + 114Q - 315 =0
atau Q2 -38Q + 105 = 0
(Q-35)(Q-3) = 0 => Q1=35;
Q2 = 3
 Tur. II : Z’’= dZ’/dQ = -6Q + 114;
Q1=35 => Z” = -6(35) + 114 = -96 < 0
Q2 = 3 => Z” = -6(3) + 114 = 96 > 0
 Jadi utk Q = 35, Z mencapai maksimum. yaitu
Z = - (35)3 + 57 (35)2 – 315(35) – 2000
= 13.925;
 sedangkan utk Q = 3, Z minimum (hitung)
SELAMAT BELAJAR
DAN BERDISKUSI