Nilai Ekstrim - Binus Repository

Matakuliah : K0352/Matematika Bisnis
Tahun
: 2008
Diferensial Parsial
Pertemuan 7
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, mahasiswa diharapkan
akan mampu :
• Mahasiswa dapat Menyesuaikan kidah diferensial terhadap fungsi
majemuk
Bina Nusantara
Outline Materi
• Kaidah Diferensial Fungsi Majemuk
Bina Nusantara
Fungsi majemuk (1)
Suatu fungsi yang mengandung variabel bebas lebih dari satu disebut
dengan fungsi multivariat.
Contoh
z = f (x, y) = ax + bxy + cy
z = Variabel terikat
x, y = Varibel bebas
Bina Nusantara
Diferensial Parsial (1)
Diferensial sebuah fungsi multivariat terhadap hanya pada satu
variabel bebas, sedangkan variabel bebas lain diasumsikan tidak
berubah atau konstan disebut dengan diferensial parsial. Misalkan z =
f (x,y), disini z sebagai variabel terikat , x dan y sebagai variabel
bebas.
Bina Nusantara
Diferensial Parsial (2)
Apabila y dianggap tetap, z merupakan fungsi yang tergantung hanya pada x, oleh
karena itu turunan parsial z terhadap x dapat ditentukan dan dilambangkan sebagai
z
x
Bina Nusantara

Diferensial Parsial (3)
Dengan cara yang sama apabila x dianggap tetap maka turunan parsial z
terhadap y
z
y
Bina Nusantara

Diferensial Parsial (4)
Contoh:
Z = 3x2 + 4xy - 10y2 maka
Zx = 6x + 4y ( disini y dianggap tetap)
Zy = 4x – 20y (disini x dianggap tetap
Pada umumnya turunan parsial dari suatu fungsi Z = f (x , y) adalah
fungsi dari x dan y juga yang memungkinkan untuk diturunkan lagi ke
arah x atau y.
Bina Nusantara
Diferensial Parsial (5)
Turunan ini apabila ada,
dinamakan turunan parsial kedua, ketiga dst, ditulis
z
2
x
2
 z
 
2
Bina Nusantara
z
2
y
2
2 z
 
Diferensial Parsial (6)
Contoh :
Z = x4 - 4x2y + 8xy3 – y2
maka
Zx = 4x3 – 8xy + 8y3
Zxx = 12x2 – 8y
Zxy = - 8x + 24y2
Zy = -4x2 + 24 xy2 – 2y
Zyy = 48 xy - 2
Zyx = -8x + 24 y2
Bina Nusantara
Nilai Ekstrim
Nilai ekstrim dari sebuah fungsi yg mengandung lebih dari satu
variabel bebas dpt dicari dgn pengujian sampai derivatif kedua-nya.
Untuk y =f(x,z), mk y mencapai ekstrim jika y/x = 0 dan y/z =
0, sedang utk menentukan maks & min adalah :
maks , bila ²y/x² < 0 & ²y/z² < 0
min, bila ²y/x² > 0 & ²y/z² > 0
Bina Nusantara
Nilai Ekstrim(2)
Contoh : Selidiki jenis ekstrim dari fungsi
y = -x² + 12x - z² + 10z – 45 ?
y/x=-2x+12
; y/z =-2z +10
-2x+12=0 x=6
-2z+10=0 z=5
y = -(6)²+12(6)-(5)²+10(5)-45 = 16
2y/x2 = - 2 <0 dan 2y/z2 = - 2 <0
Maka ttk ekstrim maksimum, ymaks = 16
Bina Nusantara
Optimisasi Bersyarat
Suatu optimisasi dimana fungsi yang hendak dioptimumkan
menghadapi suatu kendala (constraint).
Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yg menghadapi kendala
berupa sebuah fungsi lain, dapat diselesaikan dengan metoda :
pengganda lagrange dan kuhn-tucker..
Bina Nusantara
Pengganda Lagrange
• Mis fungsi yg dioptimumkan z=f(x,y) dan syarat yg dipenuhi u=g(x,y)
, maka fungsi Lagrangenya :
– F(x,y, ) = f(x,y) +  g(x,y), nilai ekstrim dpt dicari dgn memformulasikan
masing2 derivatif parsial pertamanya sama dgn nol.
Fx(x,y, ) = fx + gx = 0
Fy(x,y, ) = fy +  gy = 0;
=pengganda lagrange = var. tak tentu.
Bina Nusantara
Contoh: Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z=2x+2y dgn syarat x² + y² = 8, &
jenisnya?
F.Lagrange F = 2x + 2y + (x² + y² - 8)
= 2x + 2y + x² + y² - 8 
Agar F ekstrim, F’ = 0,
Fx =2 + 2 x = 0   = -1/x ………… a)
Fy =2 + 2 y = 0   = -1/y ………… b)
x² + y² = 8  y² + y² = 8  y² =4 y = -2 & 2
Dan x = -2 & 2 Shg z =2x+2y = -8 & 8.
Bina Nusantara
Penyelidikan nilai ekstrim:
Utk x=2 & y=2, =-1/2 Fxx = 2 = -1 <0
Fyy =2 = -1 <0
Maka ekstrim maksimum, dgn zmaks = 8 .
Utk x=-2 & y=-2, =1/2 Fxx = 2 = 1>0
Fyy =2 = 1 >0
Maka ekstrim minimum, dgn zmin = -8 .
Bina Nusantara
Metoda Kuhn-Tucker
Adapun prosedurnya adalah :
Z/x - (g/x) = 0
Z/y - (g/x) = 0
Uji :>0 berarti nilai x dan y yang mengoptimumkan
persamaan berlaku juga untuk pertidaksamaan (binding).
 < 0, berarti fungsi kendala tidak mengikat ( non binding)
 = 0, maka lakukan pengujian terhadap nilai x dan y yang mengoptimumkan
(tergantung tujuan apakah minimalisasi atau maximalisasi)
Bina Nusantara