optimasi: diferensial parsial

OPTIMASI: DIFERENSIAL
PARSIAL
MATEMATIKA TELKOM UNIVERSITY
DIFERENSIAL PARSIAL
• Fungsi yang mengandung satu variabel bebas
hanya akan memiliki satu macam turunan.
apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah turunan
y terhadap x, dengan kata lain y’= dy/dx.
DIFERENSIAL PARSIAL
Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel
bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam
pula, sesuai dengan jumlah macam variabel
bebasnya.
Y=f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan,
yaitu turunan y terhadap x atau ∂y/ ∂x dan turunan y
terhadap z atau ∂y/ ∂z.
DIFERENSIAL PARSIAL
1. Y = f(x,z)
a) fx (x,z) = ∂y/ ∂x
Y’
b) fz (x,z) = ∂y/ ∂z
dy = (∂y/ ∂x)dx + (∂y/ ∂z)dz
2. P = f(q,r,s)
a) fq (q,r,s) = ∂p/ ∂q
b) fr (q,r,s) = ∂p/ ∂r
c) fs (q,r,s) = ∂p/ ∂s
dp = (∂p/ ∂q)dq + (∂p/ ∂r)dr + (∂p/ ∂r)dr
DIFERENSIAL PARSIAL
• ∂y/ ∂x dan ∂y/ ∂z serta ∂p/ ∂q, ∂p/ ∂r, dan ∂p/ ∂s
dinamakan derivatif parsial.
• (∂y/ ∂x)dx dan (∂y/ ∂z)dz serta (∂p/ ∂q)dq, (∂p/ ∂r)dr, dan
(∂p/ ∂s)ds dinamakan diferensial parsial.
Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total.
1. ∂y = 3x2-8xz-6z2
∂x
2. ∂y = 10z – 4x2 – 12xz + 8
∂x
DERIVATIF DARI
DERIVATIF PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI-INSTITUT MANAJEMEN
TELKOM
DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL
• Fungsi dapat diturunkan dengan lebih dari satu
variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu
kali.
• Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin
diturunkan lagi.
DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL
• Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang
tinggal mengandung satu macam variabel bebas,
maka turunan berikutnya hanya ada satu macam.
• Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang
masih beberapa macam variabel bebas, maka
turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah
lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.
CONTOH
y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7
1. ∂y = 3x2-8xz-6z2
∂x
2. ∂y = 10z – 4x2 – 12xz + 8
∂z
NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN
MINIMUM
• Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang
mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat
dicari dengan pengujian sampai derivatif.
Untuk y = f(x,z),
maka y akan mencapai titik ekstrimnya
jika:
∂y = 0 dan ∂y = 0
∂x
∂z
Syarat di atas adalah syarat yang
diperlukan (necessary condition) agar
fungsinya mencapai titik ekstrim.
NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN
MINIMUM
• Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa
titik maksimum atau titik minimum, dibutuhkan
syarat yang mencukupkan (sufficient condition),
yakni:
Maksimum bila ∂2y < 0 dan ∂2y < 0
∂x2
∂z2
Minimum bila ∂2y > 0 dan ∂2y > 0
∂x2
∂x2
CONTOH
1. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini
merupakan titik maksimum atau titik minimum:
y = -x2 + 12x - z2 + 10z – 45
2. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi
p = 3q2 - 18q + r2 - 8r + 50
OPTIMISASI BERSYARAT
- PENGGANDA LAGRANGE
- KONDISI KUHN TUCKER
MATEMATIKA EKONOMI-INSTITUT MANAJEMEN
TELKOM
OPTIMISASI BERSYARAT
• Dalam kenyataan seringkali kita harus
mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu
fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai
minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain
yang harus dipenuhi.
• Fungsi yang dioptimumkan tadi menghadapi suatu
kendala (constraint).
PENGGANDA LAGRANGE
• Salah satu metode untuk perhitungan nilai ekstrim
sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa
sebuah fungsi lain.
Cara:
Membentuk fungsi baru, disebut fungsi Lagrange
Fungsi Lagrange Penjumlahan dari fungsi yang
hendak
dioptimumkan
ditambah
hasil
kali
pengganda Lagrange λ dengan fungsi kendalanya.
PENGGANDA LAGRANGE
Misalkan hendak di optimumkan z = f(x,y) dengan
syarat harus terpenuhi u = g (x,y). Maka fungsi
Lagrange nya:
F(x,y,λ) = f(x,y) + λ g(x,y)
Nilai ekstrim F (x,y, λ) dapat dicari dengan
memformulasikan masing-masing derivatif-parsial
pertamanya sama dengan nol.
Fx(x,y,λ) = fx + λgx
Fy(x,y,λ) = fy + λgy
Necessary
condition
PENGGANDA LAGRANGE
• Pengganda Lagrange λ : variabel tak tentu yang
hanya bersifat sebagai pembantu.
• Untuk mengetahui jenis nilai ekstrim, maksimum
atau minimum, masih harus disidik melalui derivatif
parsial keduanya, yang merupakan syarat yang
mencukupkan atau sufficient condition.
• Nilai ekstrim nya adalah:
Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0
Maksimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0
CONTOH SOAL
1. Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y
dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai
ekstrimnya.
2. Optimumkan z = xy dengan syarat x+2y=10.
KONDISI KUHN-TUCKER
• Merupakan metode pengembangan lebih lanjut
dari model optimisasi bersyarat.
• Mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah
fungsi yang berbentuk pertidaksamaan. bentuk
permasalahannya bisa berupa:
Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala
g(z,y) ≤ 0
Minimummkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala
g(z,y) ≥ 0
KONDISI KUHN-TUCKER
Prosedur penyelesaian:
• Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji
dengan kondisi (persyaratan) Kuhn-Tucker.
• Metode Kuhn-Tucker secara langsung.
KONDISI KUHN-TUCKER
Prosedur metoda Kuhn-Tucker melalui metoda Lagrange
yang dimodifikasikan dilakukan sebagai berikut:
(1).
Anggap kendala pertidaksamaannya
sebagai sebuah persamaan
Selesaikan masalahnya dengan metode
Lagrange yang biasa hingga diperoleh nilai
optimum yang dicari.
Khusus dalam hal ini fungsi Lagrangenya harus
dibentuk dengan cara: F(x,y,λ) = f(x,y) – λg(x,y); jadi,
tidak boleh: F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER MELALUI
METODA LAGRANGE YANG DIMODIFIKASI
(2). Lakukan pengujian terhadap nilai λ.
• Jika λ > 0 berarti nilai optimum yang diperoleh (berdasarkan
kendala yang telah dimodifikasi) tadi juga merupakan nilai
optimum berkenaan fungsi kendala yang berbentuk
pertidaksamaan.
• Jika λ ≤ 0 berarti berarti optimisasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa
menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan sendirinya
akan memenuhi kendalanya.
• Dalam hal λ ≤ 0 kendala yang bersangkutan dikatakan
bersifat tidak mengikat (non-binding), oleh karenanya dapat
diabaikan;
• Dalam hal λ > 0 kendalanya disebut mengikat (binding).
PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER
SECARA LANGSUNG
Rumuskan permasalahannya, misalnya maksimumkan
f(x,y) terhadap g(x,y) ≤ 0, atau minimumkan f(x,y)
.
terhadap g(x,y) ≥ 0
Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker
(a) ∂ f(x,y) - λ ∂ g(x,y) = 0
∂x
∂x
(b) ∂ f(x,y) - λ ∂ g(x,y) = 0
∂y
∂y
(c) λ ∂ g(x,y) = 0 di mana g(x,y) ≤ 0 atau g(x,y) ≥ 0
PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER
SECARA LANGSUNG
Ujilah (2c) masing-masing untuk λ=0 dan g(x,y) = 0
guna menentukan mana di antaranya yang
memenuhi persamaan-persamaan (2a) dan (2b)
serta pertidaksamaan kendala g(x,y). Nilai-nilai x
dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan
nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y
CONTOH
1. Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 2.5x2 – y2 terhadap
kendala x+y ≤ 9.
2. Maksimumkan
f(x,y) = (20x)/(x+5) + 10y/(y+10) – x – y
terhadap x+y ≤ 15.
3. Minimumkan
f(x,y) = x2 – xy + 2y2
terhadap x+y ≥ 8.