Statistik 2/pertemuan VI/2009-2010 Sebaran peluang kontinu yang paling penting dalam bidang statistika adalah sebaran normal. Suatu peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran berbentuk genta disebut Peubah acak normal. Definisi Kurva Normal. Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilai mean µ dan variansi σ2. Maka persamaan kurva normalnya adalah Sifat- sifat kurva normal berikut ini: Modusnya yaitu titik pada sumbu mendatar yang membuat fungsi mencapai maksimum terjadi pada x = µ Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegap yang melalui nilai tengah Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asemtotik dalam kedua arah, bila kita semakin menjauhi nilai tengahnya Luas daerah yang terletak dibawah kurva tapi diatas sumbu mendatar sama dengan 1. Kurva sembarang sebaran peluang kontinu atau fungsi kepekatan dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva itu yang dibatasi oleh x = x1, x= x1 dan x = x2 jadi bagi kurva normal P ( x1 < X < x2 )dinyatakan oleh luas daerah gelap. Definisi Sebaran Normal Baku . sebaran peubah acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1 disebut sebaran normal baku Bila X berada diantara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z akan berada diantara nilai-nilai padananya Sebaran asal dan sebaran hasil transformasi karena semua nilai X yang jatuh antara x1 dan x2 mempunyai nilai-nilai z padanannya antara z1 dan z2, maka luas daerah dibawah kurva Z antara nilai hasil transformasi z = z1 dan z = z2 dengan demikian P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2) Untuk sebaran normal dengan µ = 50 dan σ = 10, hitunglah peluang bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62 Jawab Nilai-nilai z padanan x1 = 45 dan x2 = 62 adalah Dengan demikian P(45 < X < 62) = P(-0.5 < Z < 1.2) Nilai P(-0.5 < Z < 1.2) diberikan oleh daerah gelap. Luas ini dapat diperoleh dengan menggurangkan luas daerah di sebelah kiri z = 1.2 . Dengan menggunakan Tabel Kurva Normal kita memperoleh P(45 < X < 62) = P(-0.5 < Z < 1.2) = P(Z < 1.2) – P(Z < -0.5) = 0.8849 – 0.3085 = 0.5764 Untuk sebaran normal dengan µ = 300 dan σ = 50 hitunglah peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362 Jawab Untuk menghitung P(X > 362) kita harus menghitung luas daerah di sebelah x = 362. Ini dapat kita lakukan dengan mentransformasikan x – 362 menjadi nilai z padanannya, sehingga diperoleh luas daerah disebelah kiri z dari Tabel Kurva Normal dan kemudian mengurangkan luas daerah ini dari 1. Kita peroleh bahwa z=(362-300)/50=1.24 Dengan demikian P(X > 362) = P(Z > 1.24) = 1- P(Z < 1.24) = 1 – 0.8925 = 0.1075 Diberikan sebuah sebaran normal dengan µ = 40 dan σ = 6. Hitunglah nilai x yang (a) luas daerah di bawahnya ada 38% dan (b) luas daerah di atasnya 5%. Jawab: Dua teladan sebelumnya diselesaikan dengan bekerja dari nilai x dan nilai z dan kemudian dilanjutkan dengan menghitung luas yang diinginkan. Dalam teladan ini kita balik prosesnya; mulai dengan peluang atau luas daerah yang diketahui, kemudian menghitung nilai z nya dan terakhir menentukan nilai x dengan cara merubah bentuk rumus a) Diperlukan nilai z yang luas daerah di sebelah kiri sebesar 0.38. dari Tabel Kurva Normal kita mendapatkan P(Z < - 0.31 = 0.38) sehingga nilai z tersebut adalah – 0.31. Dengan demikian x = (6)(-0.31)+40 = 38.14 b) Kita tandai daerah seluas 0.05 di sebelah kanan nilai x yang diinginkan dengan warna gelap. Untuk ini diperlukan nilai z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar 0.05 atau yang berarti juga luas daerah di sebelah kirinya 0.95 sehingga nilai z yang dicari adalah z = 1.645 dan x = (6)(1.645) + 40 = 49.87 Persentase yang disebutkan dalam kaidah empirik sesungguhnya telah ditentukan secara teoritik dengan menggunakan luas daerah di bawah kurva normal seperti tercantum dalam Tabel Kurva Normal sebagai misal peluang suatu peubah acak normal X dengan nilai tenggah µ dan ragam σ2 mengambil suatu nilai antara x1 = µ - 2σ dan x2 = µ + 2σ adalah sama dengan luas daerah di bawah kurva normal antara z = z1 dan z = z2 sedangkan dalam hal ini Dengan demikian P(µ - 2σ < X < 2σ) = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2)-P(Z < -2) = 0.9772 – 0.0228 = 0.9544 Yang sama dengan mengatakan bahwa 95.44% dari semua pengamatan yang berasal dari peubah acak normal jatuh dalam selang µ ± 2σ Suatu jenis aki mencapai umur rata-rata 3.0 tahun, dengan simpangan baku 0.5 tahun. Bila umur aki itu menyebar normal hitunglah peluang bahwa sebuah aki tertentu akan mencapai umur kurang dari 2.3 tahun. Jawab: Untuk menghitung P(X < 2.3) kita harus mendapatkan luas daerah dibawah kurva normal di sebelah kiri 2.3. Ini dapat dicapai dengan menentukan luas daerah di sebelah kiri nilai z padananya. Oleh karena itu kita hitung Z=(2.3-3)/0.5= -1.4 dan kemudian dengan menggunakan Tabel Kurva Normal diperoleh P(X < 2.3 ) = P(Z < -1.4) = 0.0808 Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 835 jam. Jawab. Sebaran umur bohlam . Nilai-nilai z padanan x1 = 778 dan x2 = 834 adalah z1 = (778-800)/40=-0.55 z2 = (834-800)/40=-0.85 Dengan demikian P(778 < X < 834) = P(-0.55 < Z < 0.85) = P(Z < 0.85) – P(Z < -0.55) = 0.8023 – 0.2912 = 0.5111 Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% diantara peserta ujian akan diberi nilai A dan nilai itu mengikuti sebaran normal berapakah batas nilai terkecil bagi A dan batas nilai tertinggi bagi B? Jawab Luas daerah sebesar 0.12 yang merupakan bagian mahasiswa yang mendapat nilai A ditunjukkan sebagai daerah gelap. Kita harus menentukan nilai z yang memberikan luas daerah di sebelah kananya sebesar 0.12 yang berarti juga daerah seluas 0.88 di sebelah kirinya. Dari tabel kurva normal P(Z < 1.175) = 0.88 sehingga nilai z yang dicari adalah 1.175 oleh karena itu x= (7)(1.175) + 74 = 82.225 Jadi nilai terendah bagi A adalah 83 dan nilai tertinggi bagi B adalah 82 Dari contoh (6) hitunglah D6 Jawab Desil keenam, yaitu D6 adalah nilai x yang luas daerah di bawahnya adalah 60% seperti ditunjukkan oleh luas daerah gelap. Dari tabel kurva normal kita peroleh P(Z < 0.25) = 0.6 sehingga nilai z nya adalah 0.25 . Sekarang x = (7)(0.25) + 74 = 75.75 Jadi D6 = 75.75 artinya yang mendapatkan nilai 75 atau kurang mencapai 60% dari semua peserta ujian.
