DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU FAKHRINA FAHMA, STP, MT Lab. Sistem Kualitas TI – FT UNS 1. Distribusi Normal Merupakan distribusi yang paling penting dalam bidang statistika Grafiknya, yang disebut kurva normal, adalah kurva yang berbentuk genta. DEFINISI Kurva Normal. Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilai rataan dan ragam 2 maka persamaan kurva normalnya adalah Dimana = 3.14159... dan e = 2.71828... Suatu peubah acak kontinu X yang memiliki distribusi berbentuk genta disebut peubah acak normal. Persamaan matematik bagi distribusi peluang var. random normal ini bergantung pada dua parameter dan . yaitu nilai rataan dan simpangan bakunya. dilambangkan dalam nilai nilai fungsi kepekatan bagi X ini dengan n(x; , ). Gambar 2. Dua kurva Normal dengan 1 ≠ 2 tetapi 1 = 2 Gambar 3. Dua kurva normal dengan 1 = 2 tetapi 1 < 2 Gambar 4. Dua kurva normal dengan 1 ≠ 2 tetapi 1 < 2 sifat-sifat kurva normal berikut ini: 1. Modusnya, yaitu titik pada sumbu mendatar yang membuat fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = 2. Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang melalui nilai rataan 3. Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik dalam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai rataannya . 4. Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1. Banyak sekali var. random yang memiliki distribusi peluang yang dapat dijelaskan secara sangat memadai oleh kurva normal, asalkan dan 2 diketahui. Luas Daerah di Bawah Kurva Normal Kurva sembarang distribusi peluang kontinyu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva itu yang dibatasi oleh x =x1 dan x = x2 sama dengan peluang bahwa var random X mengambil nilai antara x = x1 dan x = x2 Pada Gb 2 s/d 4 diket kurva normal bergantung pada nilai rataan dan simpangan baku distribusi Dengan demikian luas daerah di bawah kurva antara nilai x1 dan x2 pastilah bergantung pula pada dan . Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi kepekatan normal maka dibuat tabel luas kurva normal tetapi karena tidak mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap dan perlu transformasi ke var. random Z dengan rataan 0 dan variansi 1. DEFINISI Distribusi Normal Baku Distribusi var. random normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1 disebut Distribusi normal baku. Bila X berada di antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z akan berada di antara nilai-nilai padanannya Berarti sekarang kita telah mengurangi banyaknya tabel luas kurva-normal menjadi hanya satu, yaitu yang berasal dan sebaran normal baku. Tabel L.3 mencantumkan luas daerah di bawah kurva normal baku yang merupakan nilai P(Z < z) untuk berbagai nilai z dari -3.49 sampai 3.49. Contoh 1 : Diketahui distribusi normal baku, carilah luas dibawah kurva yang terletak : a. Di sebelah kanan z = 1,84 b. Antara z = -1,97 dan z =0,86 Jawab : Luas di sebelah kanan z = 1,84 adalah 1 dikurangi luas di Tabel A3 di sebelah kiri z = 1,84 yaitu = 1 – 0,9671 = 0,0329 b. Luas antara z = -,197 dan z = 0,86 adalah luas di sebelah kiri z =0,86 dikurangi luas di sebelah kiri z = -1,97 yaitu 0,8051-0,0244 = 0,7807 a. Contoh 1 : Diket Distribusi normal dengan = 50 dan = 10, hitunglah peluang bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62. Jawab. Nilai-nilai z padanan x1 = 45 dan x2 = 62 adalah P(45<X< 62) = P(-0.5 < Z < 1.2) = P(Z < 1.2) - P(Z <-0.5) = 0.8849 — 0.3085 = 0.5764 Contoh 2 : Diket distribusi normal dengan = 300 dan = 50, hitunglah peluang bahwa var random X mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362 Jawab. P(X>362) = P (Z >1.24) =1 - P ( Z <1.24) =1 - 0.8925 = 0.1075 Contoh 3: Diket sebuah distribusi normal dengan = 40 dan = 6. Hitunglah nilai x yang (a) luas daerah di bawahnya ada 38% dan (b) luas daerah di atasnya 5%. a. Dari Tabel A.4 P(Z < -0.31)=0.38 x = (6)(-0.31)+40 = 38.14. b. nilai z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar 0.05, atau yang berarti juga luas daerah di sebelah kirinya 0.95. Dari Tabel A.4 P(Z < 1.645) = 0.95 Sehingga z = 1.645 x = (6)(1.645) + 40 = 49.87. Penerapan Distribusi Normal Contoh 4. Suatu jenis baterai mobil mencapai umur ratarata 3.0 tahun, dengan simpangan baku 0.5 tahun. Bila umur baterai itu menyebar normal, hitunglah peluang bahwa sebuah baterai mobil tertentu akan mencapai umur kurang dari 2.3 tahun. Dari Tabel A.4 P(X<2.3) = P(Z<-1.4) = 0.0808 Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah bohiam hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 834 jam Jawab. P(778<X<834)=P(-0.55<Z< 0.85) = P(Z<0.85) - P(Z<-0.55) = 0.8023 - 0.2912 = 0.5111. Contoh Dalam suatu proses industri, diameter suatu laher merupakan bagian yang penting. Pembeli menetapkan ketentuan mengenai diameternya yaitu 3,0 ± 0,01 cm. Maksudnya bahwa tidak ada laher yang ukurannya diluar ketentuan ini akan diterima. Diketahui bahwa dalam proses pembuatan laher, diameternya berdistribusi normal dengan rataan 3,0 dan simpangan baku 0,005. Berapa banyak laher yang cacat (tidak sesuai spesifikasi konsumen) ? Jawab : Kesimpulan : rata-rata akan terdapat 4,56% laher yang cacat (tidak sesuai spesifikasi) contoh Suatu alat pengukur dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya tidak memenuhi ketentuan 1,50 ± d. Diketahui bahwa pengukuran tersebut berdistribusi normal dengan rataan 1,50 dan simpangan baku 0,2. Tentukan nilai d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% dari seluruh pengukuran. Jawab : BERSAMBUNG DI BAGIAN 2..... TERIMA KASIH
