DISTRIBUSI PELUANG KONTINU Pengertian Distribusi Peluang Kontinu Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila: 1. F ( x) 0 untuk semua x R 2. f ( x)dx 1 3. P(a X b) f ( x)dx MACAM2 DISTR KONTINU • • • • DISTRIBUSI NORMAL DAN NORMAL STANDAR DISTRIBUSI T STUDENT DISTRIBUSI CHI KUADRAT DISTRIBUSI F FISHER DITRSIBUSI NORMAL • Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi densiti probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. • Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. Kurva Distribusi Normal x Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri diantaranya: a. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta. b. Simetris terhadap rataan (mean). c. Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah maemotong. d. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ e. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari – sampai + sama dengan 1 atau 100 %. SIFAT DISTRIBUSI NORMAL Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 dimana − < 𝜇 < dan 𝜎𝑥 > 0 jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah : f ( x; , ) • • • • 1 2 e ( x2) 2 2 Notasi N(,2) : rata - rata 2 : varian: : standar deviasi x : nilai perubah acak π = 3.14159... e = 2.71828... Fungsi densitas probabilitas Probabilitas Normal Standar / Baku Untuk menghitung probabilitas 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) dari suatu variabel acak kontinu X yang terdistribusi secara normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 maka persamaan (1) harus diintegralkan mulai dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏. Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. Untuk itu para ahli statistik/matematika telah membuat sebuah penyederhanaan dengan memperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean 𝜇 = 0 dan deviasi standard 𝜎 = 1. Distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal standard (standard normal distribution). Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. DISTRIBUSI NORMAL STANDAR Sehingga diperoleh : f ( z;0,1) 1 2 e z2 2 Notasi N(,2)= N(0,1) Distribusi normal variabel acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter 𝜇 dan 𝜎 berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variabel acak standard zx memenuhi hubungan : z x Nilai 𝑧 dari variabel acak standard 𝑧 sering juga disebut sebagai skor z dari variabel acak X. Z=0.12 1. Diberikan distribusi normal baku, hitunglah daerah di bawah kurva yang dibatasi: (a) sebelah kanan z = 1.84 (b) antara z = -1.97 dan z = 0.86 2. Diberikan distribusi normal dengan μ = 50 dan σ = 10, hitunglah peluang x terletak antara 45 dan 62. 3. suatu distribusi normal dengan μ = 40 dan s = 6, carilah x sehingga: (a) luas di sebelah kirinya 45% (b) luas di sebelah kanannya 14% Latihan 1. Suatu jenis batere mobil rata-rata berumur 3,0 tahun dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila dianggap umur bater berdistribusi normal, carilah peluang suatu batere berumur kurang dari 2,3 tahun. Latihan 2. Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam, Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam. Latihan 3. dari 200 orang mahasiswa yang mengikuti ujian Kalkulus di sebuah Prodi, diperoleh bahwa nilai rata-rata adalah 60 dan simpangan baku (standard devisasi) adalah 10. Bila distribusi nilai menyebar secara normal, berapa: (a) persen yang mendapat A, jika nilai A ³ 80; (b) persen yang mendapat nilai C, jika nilai C terletak pada interval 56 ≤ C ≤ 68; (c) persen yang mendapat nilai E jika nilai E < 45 Distribusi t-student Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil daru huruf terakhir kata “student”. Distribusi t dipakai untuk jumlah sampel yang kecil (kurang dari 30 ), sehingga nilai standar deviasi berfluktuasi relatif besar. f (t ) K t 1 n 1 2 1n 2 K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1. Bilangan n – 1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2 – 1 = 1. Distribusi t-student Untuk merubah distribusi normal menjadi distribusi t digunakan rumus : • x = nilai rata-rata sampel (x ) t • = nilai rata-rata populasi s • S= standar deviasi sampel n • n = banyak sampel Sifat Distribusi t Mempunyai rata-rata sama dengan nol tetapi dengan standar deviasi yang berbeda beda sesuai dengan besarnya sampel . Semakin besar sampel maka semakin mendekati distribusi normal Contoh soal 1. Selama kurun waktu 2003 diketahui harga saham perusahaan pertanian Rp. 354 per lembar. Untuk mengetahui kinerja perusahaan pertanian diadakan penyelidikan dengan sampel 4 perusahaan. Diperoleh rata-rata saham adalah Rp 272 perlembar dengan standar deviasi Rp 260. Dengan taraf signifikan 1% apakah harga saham tersebut mengalami penurunan • Perkiraan awal harga saham 354 • Apakah turun ≤ 354 (uji satu arah) • V= n–1 = 3 diperoleh t = 4,541 t 272 354 0,63 Dengan taraf signifikan 1% perusahaan tidak mengalami penurunan yang nyata 260 4 Yang ditolak –0,63 Yang diterima 4,541 Contoh 2 Kereta api eksekutif jurusan malang, surabaya dan yogya berjumlah 24 unit. Harga rata-rata tiket Rp.253.000,-.Karena persaingan dengan perusahaan penerbangan agar penumpang tidak turun drastis maka diberikan diskon. Harga tiket rata-rata setelah didiskon dari 16 jenis tiket adalah Rp.212.000,dengan standar devisi Rp.46.000,-. Apakah penurunan tarif tersebut untuk tingkat signifikan 5% memberikan perbedaan yang nyata. • • • • • Harga awal Rp.253.000,-. Harga berubah Rp 253.000,Tanda menandakan kondisi 2 arah V = n – 1 = 16 – 1 = 15 dengan = 5% diperoleh t tabel = 2,131 t hitung =3,57 Yang ditolak Yang diterima –2.131 Terdapat perbedaan yang signifikan Yang ditolak 2.131
