notasi sigma

BAB VIII PEUBAH ACAK KONTINU
DAN BEBERAPA DISTRIBUSI KONTINU
Jika himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan
himpunan tak terhitung yaitu tidak dapat dinyatakan sebagai {x1, x2, x3, …., xn} atau {x1,
x2, x3, ….} tetapi berupa interval atau gabungan beberapa interval misalnya {xR|a < x <
b, a,bR} atau {xR|a  x  b, a,bR} atau {xR|a < x  b, a, bR}, dan sebagainya,
maka peubah acak tersebut disebut peubah acak kontinu.
Dalam prakteknya, peubah acak kontinu ini digunakan untuk data yang diukur misalnya,
tinggi, berat, suhu atau jarak.
Sebaran Peluang Peubah Acak Kontinu
Misalkan X peubah acak kontinu. Suatu fungsi f dengan nilai f(x) yang didefinisikan
pada R merupakan fungsi kerapatan peluang atau fungsi padat peluang dari X jika dan
hanya jika
b
P(a  X  b ) =
 f ( x)dx , untuk setiap konstanta real a dan b dengan a  b
a
Jika X peubah acak kontinu dan a, b adalah dua konstanta real dengan a  b maka
P(a  x  b) = P(a < x  b) = P(a  x < b) = P(a < x < b).
Fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu X, dapat digambarkan sebagai suatu kurva
kontinu. Contoh grafik fungsi kerapatan peluang yang mempunyai penerapan praktis
dalam analisis data statistik bersifat kontinu untuk semua nilai X adalah sebagai berikut.
f(x)
f(x)
(a)
Statistika-Handout 8
x
(b)
x
48
f(x)
f(x)
x
x
(c)
(d)
Gambar 8.1 Grafik fungsi kerapatan peluang
Fungsi kerapatan peluang dibuat sedemikian sehingga luas daerah di bawah
kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1. Luas daerah digunakan untuk menyatakan
peluang. Untuk suatu fungsi kerapatan peluang yang dinyatakan oleh kurva dalam
gambar berikut ini, peluang X antara a dan b sama dengan luas daerah yang diarsir yang
terletak di antara x = a dan x = b dibawah fungsi kerapatannya.
f(x)
a
b
x
Gambar 8.2 P(a < X < b)
SIFAT:
f(x) merupakan fungsi kerapatan peluang dari peubah acak kontinu X jika nilai fungsi
f(x) memenuhi
i). f ( x)  0 ,   x 

ii).
 f ( x)dx  1

x
Pada umumnya, kurva fungsi kerapatan peluang mempunyai rumus yang rumit, sehingga
penentuan luas daerah di bawah kurvanya cukup sulit. Namun beberapa di antaranya
telah dihitung dan dibuat tabelnya, yaitu yang dikenal sebagai distribusi Normal, Normal
Baku, t,  2 , dan F.
Statistika-Handout 8
49
Sebaran peluang peubah acak kontinu yang termasuk sering digunakan adalah sebaran
normal (distribusi normal) dan sebaran normal baku (distribusi normal baku). Berikut
penjelasan singkat beberapa sebaran peluang tersebut.
Distribusi Normal

Peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi normal dengan parameter  dan  jika
dan hanya jika fungsi kerapatan peluang dari X adalah
f ( x) 
1
 2
e
 x 
1   


2
2
,  x  ,  > 0.
Dengan:
 = 3,141592654,
e = 2,71828182,
 = parameter, merupakan rata-rata dari X
 = parameter, merupakan simpangan baku dari X,  > 0

Sifat Distribusi Normal:
o Grafik y = f(x) simetri terhadap rata-ratanya (  ), mempunyai satu puncak, dan
berbentuk seperti lonceng atau genta.
Gambar 8.3 Fungsi densitas normal dengan mean  dan variansi 2
Statistika-Handout 8
50
o Nilai rata-rata (µ) = median = modus.
o Karena f(x) adalah rumus fungsi kerapatan peluang dari X, maka:

Grafik y = f(x) berada di atas sumbu x

Luas daerah di atas sumbu x dan di bawah y = f(x), dari x = -  sampai
x =  , sebesar satu satuan.
Distribusi Normal Baku

Distribusi Normal Baku adalah distribusi normal dengan rata-rata  = 0, dan
simpangan baku  = 1.

Jika X berdistibusi Normal dengan rata-rata  dan simpangan baku  , dan misal
Z
X 

, maka Z berdistribusi Normal Baku.
Gambar 8.4. Fungsi densitas normal baku
Untuk mencari peluang pada distribusi normal baku dapat digunakan Tabel A.3 pada
Lampiran. Distribusi normal baku bersifat simetris sebagamana terlihat pada Gambar 8.5
Gambar 8.5. Peluang normal baku
( z )  P( Z   z )  P( Z  z )  1   ( z )
Sebagai contoh
o
P( Z  0)  P( Z  0)  0,5
o
P( Z  1)  (1)  1  (1)  1  0,8413  0,1587
Statistika-Handout 8
51
Keterangan : Untuk mendapatkan nilai 0,5, lihat Tabel 3. pada kolom pertama pada
posisi z = 0,0 dan kolom ke dua 00, yang menunjukkan nilai 0,5000, begitu juga
untuk z =  1, posisi pada kolom pertama  1, pada kolom ke dua 00, yang
menunjukkan nilai 0,1587.

Untuk a,b,c, dan d bilangan-bilangan real, dan X berdistribusi Normal dengan ratarata  dan simpangan baku  , maka:
o
b 
a
= luas di bawah kurva normal baku dari
P ( a  X  b)  P 
Z 
 
 
z1 
a
b
sampai z2 


Contoh 8.1
Jika X berdistribusi normal dengan mean   3 dan variansi  2 = 16, tentukan
a. P ( X  11)
b. P( X  1)
c. P(2  X  7)
Penyelesaian:
 X  3 11  3 
a. P( X  11)  P 


4 
 4
  (2)
 0,9772
 X  3 2  3 
b. P( X  2)  P 


4 
 4
 P( Z  1, 25)
 P ( Z  1, 25)
= 0,8944
2  3 X  3 7  3
c. P(2  X  7)  P 



4
4 
 4
 (1)  (1/ 4)
 (1)  1  (1/ 4) 
 0,8413  1  0,5987  0, 4400
Statistika-Handout 8
52
Sebaliknya jika diketahui nilai peluang normal baku, dapat ditentukan nilai Z.
Contoh 8.2
a. Nilai Z sedemikian hingga P( Z  z )  0,9535 adalah z = 1,68.
b. Nilai Z sedemikian hingga P( Z  z )  0,0465 adalah z = 1,68.
Distribusi T
Distribusi dengan variabel acak kontinu selain distribusi normal dan distribusi normal
baku adalah distribusi t-student atau distribusi t. Grafik fungsi kerapatan peluang dari
distribusi t menyerupai grafik fungsi distribusi normal, sebagaimana terlihat pada
Gambar 8.6.
 t,
0
t,
Gambar 8.6. Distribusi t
Untuk menentukan nilai t, tergantung dari nilai peluang (α) dan derajat kebebasan (υ
(dibaca”nu”)) Nilai t ini dapat dicari dengan menggunakan Tabel distribusi t pada Tabel
A.4.
Kolom pertama menunjukkan besarnya derajat kebebasan (υ) sedangkan kolom kedua
hingga kelima menyatakan besarnya nilai t untuk nilai peluang (α) yang bersesuaian
Catatan: Jika menggunakan tabel t yang lain, harap diperhatikan daerah yang diarsir.
Contoh 8.3
Tentukan nilai t tabel untuk α = 0,05 (t0,05) dengan derajat bebas 19.
Jawab:
Nilai t untuk α = 0,05 (t0,05) dengan derajat bebas 19, jika daerah yang dimaksud di
sebelah kanan, maka t terletak pada kolom ke enam (α = 0,05) nilai t, dan baris ke-19
Statistika-Handout 8
53
dari kolom derajat kebebasan (υ), diperoleh nilai t 1,729. Jika daerah yang dimaksud di
sebelah kiri, maka t bertanda negatif yaitu 1,729.
Distribusi  2 (Chi Square atau Khi Kuadrat)
Distribusi khi kuadrat juga merupakan distribusi dari variabel acak kontinu. Yang perlu
diperhatikan dalam menentukan nilai dari distribusi  2 adalah derajat kebebasan (υ) dan
besarnya nilai peluang (  ). Gambar 8.7 menyajikan distribusi  2
2 ,v
0
Gambar 8.7 Distribusi Khi Kuadrat
Untuk menentukan nilai  2 dapat digunakan tabel khi kuadrat (Tabel A.5).
Pada Tabel A.5 kolom pertama menunjukkan besarnya derajat kebebasan (υ) sedangkan
kolom kedua hingga kedelapan menyatakan besarnya nilai  2 untuk nilai peluang (α)
yang bersesuaian.
Catatan: Jika menggunakan tabel  2 lain, harap diperhatikan daerah yang diarsir.
Contoh 8.4
Tentukan  02,01 , dengan υ = 26
Jawab:
2
Dari Tabel A.5., untuk υ = 26 diperoleh nilai 0,01
adalah 45,64 jika daerah yang
dimaksud di sebelah kanan. Jika daerah yang dimaksud di sebelah kiri, maka dicari pada
α = 1  0,01 = 0,99 dan υ = 26 , sehingga nilainya adalah .12,2
Statistika-Handout 8
54
Distribusi F
Distribusi F juga merupakan distribusi dari variabael acak kontinu. Grafiknya mirip
dengan distribusi  2 , sebagaimana disajikan pada Gambar 8.8
f  (1 , 2 )
0
Gambar 8.8 Distribusi F
Untuk menentukan nilai f dengan nilai peluang α tergantung dari dua derajat kebebasan
yaitu υ1 (derajat kebebasan pembilang) dan υ2 (derajat kebabasan penyebut).
Nilai dari f dengan derajat kebebasan υ1 dan υ1 atau ditulis f  (1 , 2 ) , dapat dicari
dengan menggunakan Tabel A.6.
Jika f  (1 , 2 ) menyatakan f dengan derajat kebebasan υ1 dan υ1, maka
f1 (1 , 2 ) =
1
f  (2 , 1 )
Contoh 8.5
○ Tentukan nilai f0,01(5,20), jika daerah yang dimaksud di sebelah kanan. Karena pada
Tabel A.6 yang diarsir adalah daerah di sebelah kanan, maka f0,01(5,20) dapat dicari
pada  = 0,01, υ1= 5 dan υ2 = 20. Jadi f0,01(5,20) = 4,10
○ Tentukan nilai f0,01(5,20), jika daerah yang dimaksud di sebelah kiri. Pada kasus ini
 dicari pada posisi 0,99, sehingga diperoleh nilai
f0,99(5,20) =
Statistika-Handout 8
1
f 0,01(20,5)

1
= 0,104712
9,55
55
Latihan 8
1. Suatu peubah acak X antara x = 2 dan x = 7 mempunyai fungsi kerapatan peluang
f ( x) 
1
5
a. Tunjukkan bahwa luas daerah di bawah kurvanya sama dengan 1
b. Hitung P(2,5 < X < 4) dan P( X  3, 7)
2. Menggunakan Tabel, tentukan:
a. P(Z ≥ 1,96)
b. P(Z ≤ 1,96)
c. P( -1,96 ≤ Z ≤ 1,96)
e. P(Z ≤ -1,96)
e. P(Z ≥ -1,96)
f. P(|Z| < 1,96)
g. P(|Z| > 1,96)
h. P(0 < Z < 1,96)
i. P(-1,96 < Z < 0)
j. P(Z = 1,96)
3. IQ 600 calon mahasiswa di suatu perguruan tinggi kira-kira menyebar normal dengan
rata-rata 115 dan simpangan baku 12. Bila perguruan tinggi itu mensyaratkan nilai IQ
sekurang-kurangnya 95, berapa banyak mahasiswa yang ditolak berdasarkan hal ini
tanpa memperhatikan kualifikasi mereka yang lain?
4. Tentukan:
a. t0.025 bila  = 14
b. –t0.01 bila  = 10
c. t0.995 bila  = 7
d. t sehingga P(-t < T < t ) = 0,95 bila  = 23
e.  02,01 dengan  = 18
f.
 02,975 dengan  = 29
g.  2 sehingga P(  2 <  2 ) = 0.99 dengan  = 4
h. f0.05 bila 1 = 7 dan 2 = 15
i. f0.05 bila 1 = 15 dan 2 = 7
j. f0.01 bila 1 = 24 dan 2 = 24
k. f0.95 bila 1 = 19 dan 2 = 24
l. f0.99 bila 1 = 28 dan 2 = 12
Statistika-Handout 8
56