Turunan dalam ruang dimensi n

BAB III
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH
fungsi bernilai riil dari peubah riil
,
fungsi bernilai vektor dari peubah riil
Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
,
pasangan terurut
yang memadankan setiap
dalam rangka D pada bidang dengan bilangan riil
,
,
.
– ,
Himpunan D disebut daerah asal (domain) fungsi.
Jika daerah asal fungsi tidak diperinci , maka D berupa daerah asal mulanya
,
(natural domain), yakni himpunan semua titik
pada bidang dimana aturan
fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil.
Contoh :
,
daerah mulanya adalah seluruh bidang
,
daerah asal mulanya adalah
,
:
,
Daerah nilai suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilainya
,
dan
peubah bebas
peubah tak bebas
Contoh : Buatlah grafik daerah asal mula untuk
,
,
Solusi : Keluarkan
:
dan titik
,
31 ™ KURVA KETINGGIAN
Setiap bidang mendatar
memotong permukaan dalam sebuah kurva.
Proyeksi kurva pada bidang
disebut kurva ketinggian , dan kumpulan
lengkungannya disebut peta kontur.
Permukaan , Bidang Kurva ketinggian
,
5000 ft 7000 ft Peta kontur dengan kurva ketinggian Permukaan 2. TURUNAN PARSIAL
Turunan parsial f terhadap x di
,
,
∆ ,
dan dinyatakan sebagai
,
,
∆
∆
Sebaliknya :
,
,
∆
∆
∆
,
32 Contoh :
,
Carilah
,
dan
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
;
,
,
,
,
Contoh :
Jika
, cari
dan
Solusi :
™ TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI
;
33 Cari keempat turunan parsial dari
⁄
,
⁄
,
Solusi :
⁄
,
⁄
,
⁄
,
⁄
,
⁄
⁄
,
⁄
⁄
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
,
,
,
Nilai
,
,
semakin dekat ke bilangan
pada waktu
,
mendekati
caranya tak terhingga
Untuk mengatakan bahwa
,
,
,
0 (betapapun kecilnya) terdapat
setiap
hingga |
|
,
berarti bahwa untuk
0 yang berpadanan sedemikian
dengan syarat bahwa
| ,
Contoh : Perlihatkan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh
|
,
,
tidak mempunyai limit di titik asal.
,
Solusi :
Jadi, limit
,
,
,
Limit
,
untuk
untuk
,
,
mendekati
,
,
,
sepanjang sumbu x adalah
,
mendekati
,
sepanjang sumbu y adalah
34 ,
,
,
,
,
Jadi kita mendapat jawaban yang berbeda tergantung bagaimana
,
,
.
™ Kekontinuan pada suatu titik
,
kontinu di titik (a,b), dengan syarat
. mempunyai nilai di (a,b)
. mempunyai limit di (a,b), dan
. nilai f di (a,b) sama dengan limitnya
,
,
,
,
Berarti f tidak mempunyai loncatan atau fruktuasi liar di (a,b)
Teorema :
komposisi tunggal jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di a,b dan f suatu
fungsi satu peubah kontinu di
didefinisikan oleh
,
, maka fungsi komposisi
,
,
Contoh : Perlihatkan bahwa
yang
, adalah kontinu di a,b .
,
adalah kontinu di
setiap titik dari bidang
Solusi :
Fungsi
,
polinom, adalah kontinu dimana‐mana, juga
kontinu disetiap bilangan t di R.
,
,
kontinu di
semua x,y di bidang.
4. KETERDIFERENSIALAN
dapat dideferensialkan di
.
Vektor
jika terdapat suatu vektor
| |
dengan
sedemikian hingga :
pada
gradient di
.
| |
Catatan :
•
Turunan
adalah bilangan. Gradient
adalah vector
35 •
Titik dalam
.
menunjukkan hasil kali titik dari dua vector
Jika fungsi dua peubah yang dapat dideferensialkan di
parsial pertama dari ada di
dan
Contoh : Perlihatkan bahwa
,
,
, maka turunan
dapat dideferensialkan dimana‐
mana dan hitung gradient‐gradientnya. Cari persamaan bidang singgung
,
di 2,0
,
Solusi :
Fungsi ini kontinu dimana‐mana
,
,
,
Persamaan bidang singgungnya :
,
,
,
Contoh :
,
,
, ,
, cari
,
, ,
,
, ,
, ,
Aturan‐aturan untuk gradient :
Teorema :
adalah operator linier, yakni
36 5. TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN
Andaikan
,
dan dan adalah vector‐vektor satuan arah dan
Maka turunan parsial di
positif.
dapat dituliskan sebagai berikut :
Untuk tiap vector satuan , andaikan
Jika limit ini ada, ia disebut turunan berarah f di P pada arah u.
Jadi di
dan
karena
,
,
,
Kemiringan: ,
,
Kaitan dengan gradient : Andaikan dapat dideferensialkan di P. Maka f mempunyai turunan berarah di P pada arah vector satuan dan .
,
,
,
37 Contoh : jika ,
vektor , tentukan turunan berarah di (2,‐1) pada arah Solusi : Vektor satuan pada arah a adalah ,
,
,
,
,
, ,
Contoh : Cari turunan berarah dari fungsi arah vector di titik , ,
pada . Solusi : Vektor satuan u pada arah a adalah , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
Maka , ,
, ,
™ LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Untuk suatu fungsi f di titik p , fungsi berubah paling cepat pada arah mana yang terbesar .
| ||
sudut antara dan |
|
maksimum pada minimum pada |
Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradient (dengan laju |
|) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan (dengan laju |
|) 38 6. ATURAN RANTAI (Chain Rule) Andaikan ,
dan dapat didiferensialkan di dan andaikan dapat didiferensialkan di didiferensialkan di , maka fungsi
akan dapat dan karenanya, Contoh : Misalkan dengan dan . Tentukan Solusi : ⁄
Contoh : Misalkan sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambah pada laju ,
dan tingginya bertambah pada laju ,
. Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan dan tinggi sama dengan Luas permukaan tabung . ,
Pada dan .
.
⁄
. , . ,
.
. , Contoh : Andaikan ⁄
, dengan dan hitung nilainya di ,
, dan . Tentukan ⁄ . 39 Solusi : √
.
√
Misalkan ,
dan misalkan ,
dapat didiferensialkan di ,
,
,
, mempunyai turunan pertama di ,
, ,
,
dan , maka mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh : Contoh : dengan Jika dan . Tentukan dalam bentuk s dan t. Solusi : Contoh : ,
, dengan ,
. Tentukan ⁄
Solusi : ⁄
⁄
,
⁄
jika ⁄
⁄
⁄
⁄
,
Contoh : Tentukan Solusi : Misalkan ,
40 ⁄
⁄
7. BIDANG SINGGUNG, APROKSIMASI , ,
Suatu permukaan yang ditentukan oleh permukaan tersebut yang melalui titik ,
dan sebuah kurva pada . Jika ,
,
,
adalah persamaan parameter untuk kurva ini, maka untuk semua t ,
,
Dengan aturan rantai : Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk gradient dari dan tururnan dari vektor untuk kurva sebagai ,
.
,
Bidang singgung
,
,
, ,
, ,
menentukan suatu permukaan dan misalkan F dapat dideferensialkan di sebuah titik dari permukaan dengan , ,
, ,
, maka bidang yang melalui P tegak lurus dinamakan bidang singgung , ,
permukaan itu di P. Andaikan Teorema : Untuk permukaan , ,
, ,
, persamaan bidang singgung di , ,
, ,
Dalam hal khusus, untuk permukaan adalah , ,
,
,
,
,
adalah , persamaan bidang singgung di 41 ,
,
Contoh: Cari persamaan bidang singgung terhadap di titik (1,1,2). Solusi : Misalkan ,
,
,
Contoh : Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap , ,
Solusi : , ,
di , ,
, ,
, ,
Maka persamaan bidang singgung Persamaan simetri dari normal yang melalui , ,
adalah : 8. MAKSIMUM DAN MINIMUM Bila suatu titik di s, yaitu daerah asal dari f adalah nilai maksimum (global) dari pada jika p di s. untuk semua adalah nilai minimum (global) dari f pada s jika untuk semua p di s. 42 adalah nilai ekstreem (global) dari f pada s jika jika ia adalah nilai maksimum (global) atau nilai minimum (global). Maksimum global
Maksimum lokal Maksimum lokal
Maksimum global Titik‐titik kritis (ekstrem) dari f pada s ada tiga jenis : 1) Titik‐titik batas 2) Titik‐titik stasioner jika adalah suatu titik dalam dari s dimana f dapat didiferensialkan dan bidang singgung mendatar. 3) Titik‐titik singular jika adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat didiferensialkan. TEOREMA : Andaikan f dideferensikan pada suatu himpunan S yang mengandung . jika adalah suatu ekstrem, maka haruslah berupa suatu titik kritis, berupa salah satu dari : i.
ii.
iii.
Suatu titik batas dari S, atau Suatu titik stasioner dari f ; atau Suatu titik singular dari f. ⁄ ,
Contoh : cari nilai maksimum dan minimum local dari Solusi : ,
,
,
,
,
43 ⁄
,
⁄
⁄
jadi ,
adalah minimum global untuk f ™ SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Andaikan bahwa , mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari ,
dan bahwa . Ambil ,
=
,
,
,
,
Maka : 0, maka adalah nilai maksimum lokal. jika 0 dan ,
,
jika 0 dan 0, maka adalah nilai minimum lokal. ,
,
jika 0, bukan suatu nilai ekstrem ,
adalah titik pelana. ,
jika , pengujian tidak member kesimpulan Contoh : Tentukan ekstrem; jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh ,
Solusi : ,
Titik kritis ,
,
;
,
,
,
Titik kritis ,
dan ,
,
;
,
;
,
Jadi pada titik ,
,
.
,
,
.
,
0 Sehingga menurut , ,
adalah nilai minimum local dari Sedangkan pada titik ,
: ,
.
,
,
.
0 Maka menurut ,
adalah titik pelana. 44 9. METODE LAGRANGE Untuk mencari nilai minimum dari : adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas. Tapi, bila diminta mencari nilai minimum dari Nilai ektrem terbatasi / terkendala
Batasan : Untuk menyelesaikan nilai ektrem terkendala dapat digunakan pengali lagrange ™ Tafsiran Geometri Metode Lagrange , Maksimumkan atau minimum , terhadap batasan ,
Untuk memaksimumkan f terhadap batasan ,
adalah mencari kurva. Ketinggian ,
dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva batasan yaitu pada titik ,
dan . ,
Pada titik dan , kurva ketinggian dan kurva batasan memiliki suatu garis singgung bersama, kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. , Vektor gradient adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan adalah tegak lurus terhadap kurva batasan, jadi dan sejajar di titik dan , maka : dan dan adalah bilangan tak nol. Teorema : Metode Lagrange Untuk memaksimumkan atau meminimumkan , seesaikan sistem persamaan : dan terhadap batasan/kendala Tiap titik yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan yang berpadanan disebut pengali lagrange. 45 Contoh : Gunakan Metode Lagrange untuk mencari nilai‐nilai maksimum dan minimum dari : ,
;pada ellips Solusi : ,
,
;
Persamaan Lagrange : Jadi dan tidak dapat sama dengan nol Pers ,
Pers ,
Jadi titik‐titik kritis Bila , maka dari persamaan ketiga Dari persamaan pertama, bila Maka ,
,
,
,
juga titik‐titik kritis ,
,
maka nilai minimum dari ,
adalah dan nilai maksimum adalah 1. 46 Contoh : , ,
Tentukan minimum , terhadap batasan , ,
Solusi : , ,
, ,
Titik kritis, bila , ,
Untuk , , ,
, ,
, ,
dan dengan λ pengali lagrange Dari substitusi ke dan dan , didapat , Dari persamaan , ,
Sehinga penyelesaian sistem persamaan simultan tersebut adalah – ,
Satu‐satunya titik kritis adalah – ,
Maka minimum , ,
,
terhadap kendala adalah – ,
,
Bagaimana bila batasannya lebih dari Satu Misalkan terdapat dua batasan menjadi , ,
, ,
, ,
;
, ,
, ,
dan , ,
, ,
, maka persamaannya 47 Dimana dan adalah pengali lagrange Sehingga sistem lima persamaan simultan adalah , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
Contoh : Tentukan nilai‐nilai maksimum dan minimum dari , ,
yang merupakan perpotongan tabung dan pada ellips Solusi : Persamaan‐persamaan Lagrange yang berpaduan Dari &
,
,
Untuk titik kritis Untuk titik kritis – , ,
,
,
– , ,
Nilai Maksimum Nilai Minimum 48