Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama Dan

36
DAFTAR PUSTAKA
Browder, A.1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York.
Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks.
California.
Durrett, R. 1996. Probability : Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press.
New York.
Grimmett, G. R. and D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes.
Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.
Helmers, R. 1995. On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea.
CWI Note BS-N9501.
Helmers, R. and Zitikis, R. 1999. On estimation of Poisson intensity function.
Annal Institute of Statistical Mathematics, 51, 2, 265-280.
Helmers, R, Mangku, IW and Zitikis, R. 2003. Consistent estimation of the
intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate
Analysis. 84, 19-39.
Helmers, R, Mangku, IW and Zitikis, R. 2005. Statistical properties of a kerneltype estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process.
Journal of Multivariate Analysis. 92, 1-23
Helmers, R, Mangku, IW and Zitikis, R. 2007. A non-parametric estimator for the
doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology, 4,
481-492.
Helmers, R, and Mangku, IW. 2007. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Accepted by Annal Institute of
Statistical Mathematics.
Herniwati. 2007. Kekonsistenan Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua
dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik. Departemen
Matematika IPB. Skripsi. Bogor.
Hogg, R. V. and A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed.ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.
Mangku, I W. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a
Cyclic Poisson Process. CWI Report PNA-R9914.
Mangku, I W. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process.
University of Amsterdam, Amsterdam.
37
Mangku, I W. 2006a. Weak and stong convergence of a kernel-type estimator for
the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Aplications, 5.
Mangku, I W. 2006b. Asymtotic normality of a kernel-type estimator for the
intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Aplications, 5.
Ross, S. M. 2003. Introduction to Probability Models. Ed. ke-8. Academic Press
Inc. Orlando, Florida.
Serfling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John
Wiley & Sons. New York.
Syamsuri. 2007. Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan kedua dari Fungsi
Intensitas suatu Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB.
Tesis. Bogor.
Taylor, H. M. and S. Karlin. 1984. An Introduction to Stochastic Modeling.
Academic Press, Inc. Orlando, Florida.
Wheeden, R. L. and A. Zygmund. 1977. Measure and Integral : An Introduction
to Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
38
LAMPIRAN
39
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang
hasilnya tidak bisa diprediksi degan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua
kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi 13 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan
.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 14 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh
.
(Grimmett and Stirzaker
1992)
Definisi 15 (Kejadian Lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan
kosong ( ).
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 16 (Medan-s)
Medan-s adalah suatu himpunan
bagian ruang contoh
yang anggotanya terdiri atas himpunan
, yang memenuhi syarat berikut :
1.
2. Jika A
, maka Ac
3. Jika A1 , A2 ,...
.
, maka
Ai
.
i 1
(Hogg and Craig 1995)
40
Misalkan
(himpunan bilangan nyata) dan
selang terbuka di
medan-
. Jika
sehingga
adalah himpunan dari semua
adalah medan-
, maka
disebut
Borel yang anggotanya disebut himpunan Borel.
Definisi 17 (Ukuran Peluang)
Misalkan
adalah ruang contoh suatu percobaan dan
Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur
atau P :
adalah medan-s pada
ke himpunan bilangan nyata
.
,
disebut ukuran peluang jika:
1. P tak negatif, yaitu untuk setiap A
,P A
2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1 , A2 ,...
maka P
0
dengan Aj
Ak =
, j
k
P An .
An
n 1
n 1
3. P bernorma satu, yaitu P( ) = 1.
Pasangan
, , P disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 18 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika :
P A
B
P A P B .
Secara umum, himpunan kejadian Ai ; i
P
Ai
i J
I dikatakan saling bebas jika :
P Ai
i J
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 19 (Peubah Acak)
41
Misalkan
pada
X
adalah ruang contoh dari percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi
yang memetakan setiap unsur
ke satu dan hanya satu bilangan real
x disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan
real A
x:x
X
,
.
(Hogg and Craig 1995)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z.
Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap
peubah acak memiliki fungsi sebaran.
Definisi 20 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak
tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 21 (Fungsi Sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang
A
PX A
,x
P X
,
maka
x
FX x .
peluang
dari
. Misalkan kejadian
kejadian
A
adalah
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 22 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p :
0,1
yang diberikan oleh :
pX x
P X
x
(Hogg and Craig 1995)
42
Definisi 23 (Peubah Acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter
,
0,
jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh
k
pX k
P X
k
e .
k!
, untuk k = 0, 1, ….
(Ross 2003)
Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran
Poisson dengan parameter berturut-turut
Poisson dengan parameter
1
2
1
dan
2
. Maka X + Y memiliki sebaran
.
(Taylor and Karlin 1984)
Bukti : lihat Taylor and Karlin 1984.
Nilai Harapan, Ragam dan Momen
Definisi 24 (Nilai Harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
pX x
P X
E X
x . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
xP X
x pX x ,
x
x
x
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 25 (Ragam)
43
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X x
dan nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan Var (X) atau
2
X
,
adalah
2
X
E
X
2
E X
x E X
2
pX x .
X
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 26 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau mk dari peubah acak
X adalah
mk
E Xk .
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 27 (Momen Pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif maka momen pusat ke-k atau
k
dari peubah
acak X adalah
k
E
X
m1
k
.
(Hogg and Craig 1995)
Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X.
Nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai
harapannya disebut ragam atau variance dari X. Ragam merupakan momen pusat
ke-2 dari peubah acak X.
Definisi 28 (Peubah Acak Indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi
IA :
IA
0,1 , yang diberikan oleh :
1, jika
A
0, jika
A
44
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :
EI A
P A .
Kekonvergenan Peubah acak
Terdapat
beberapa
cara
untuk
kekonvergenan barisan peubah acak, X n
menginterpretasikan
X untuk n
pernyataan
.
Definisi 29 (Kekonvergenan Dalam Peluang)
Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
, , P . Barisan peubah acak X n dikatakan konvergen dalam peluang ke X ,
dinotasikan
p
Xn
0 berlaku P X n
X
jika
X,
0, untuk n
untuk
setiap
.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Penduga dan Sifat-sifatnya
Definisi 30 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 31 (Penduga)
Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n adalah contoh acak. Suatu statistik U X 1 , X 2 ,..., X n
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g
penduga (estimator) bagi g
Bilamana nilai X 1
x1 , X 2
, dilambangkan dengan gˆ n
x2 ,..., X n
sabagai dugaan (estimate) bagi g
, dikatakan sebagai
.
x n , maka nilai U X 1 , X 2 ,..., X n disebut
.
(Hogg and Craig 1995)
45
Definisi 32 (Penduga Tak Bias)
1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g
E U X 1 , X 2 ,..., X n
g
, yaitu
disebut penduga tak bias bagi parameter g
.
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
2. Jika lim E U X 1 , X 2 ,..., X n
n
untuk n
g
, maka U X 1 , X 2 ,..., X n
disebut sebagai penduga tak bias asimtotik.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 33 (Penduga Konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g
penduga konsisten bagi g
, disebut
.
(Hogg and Craig 1995)
Definisi 34 (MSE suatu Penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g
didefinisikan sebagai
MSE U
E U
Bias U
EU
g U
g
2
Bias U
2
Var U , dengan
.
Definisi 35 (Fungsi Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas
adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas B kita peroleh
B
s ds
B
(Dudley 1989)
46
Definisi 36 (O(.) dan o(.))
Simbol-simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi
u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(i). Notasi u x
x
u x
v x
terbatas, untuk
L.
(ii). Notasi u x
x
L, menyatakan bahwa
v x , x
o v x , x
L, menyatakan bahwa
u x
0 , untuk
v x
L.
(Serfling 1980)
Definisi 37 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi
1
0 2h
h
s
lim
h
jika berlaku
x
s dx
0.
h
(Wheeden and Zygmund 1977)
Lema 2 (Teorema Fubini)
Misalkan X , A,
1
Jika f
f d
0 atau
f x, y
2
dy
dan X , A,
1
adalah dua ruang ukuran s -finit.
maka
dx
XY
2
f x, y
f d
XxY
1
dx
2
dy .
Y X
(Durret 1996)
Bukti : lihat Durret 1996
Lema 3 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhinga pada satu titik. Maka
47
n
g y
g x
g (k ) x
k!
k 1
y
x
k
o y
x , untuk y
x.
(Serfling 1980)
Bukti : lihat Serfling 1980
Lema 4 (Pertidaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan
dan ragam
2
, maka untuk
setiap k >0,
2
P X
k
k2
.
(Ross 2003)
Bukti : lihat Ross 2003
Lema 5 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan X1,X2,...,Xn adalah suatu contoh acak dari suatu distribusi yang
mempunyai nilai-harapan
Maka peubah acak Yn
dan variance
n
1
Xi n
/ n
2
.
n Xn
/
konvergen ke
sebaran normal dengan nilai-harapan nol dan ragam 1.
(Hogg and Craig 1995)
Bukti : lihat Hogg and Craig 1995