Pendugaan turunan pertama dan kedua dari

Lampiran: Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Ruang contoh, kejadian dan peluang
Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui penggulangan percobaan
yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalarn banyak kasus, hasil percobaan
tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat.
Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan.
Definisi 14 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan 0 .
(~rimmettdan Stirzaker 2001)
Defenisi 15 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari Nang contoh a.
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 16 (Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah hiipunan
kosong (0).
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 17 (Medan-u)
Medan-g adalah suatu himpunan T yang anggotanya terdiri atas h i p u n a n bagian
Nang contoh a,yang memenuhi syarat berikut :
1. 0 E T .
2. Jika A E T ,maka AC E T .
3. Jika A1,A2, ... E T maka U g l Ai
E
T.
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Misalkan R=R (himpunan bilangan nyata) dan 7 adalah himpunan dari
semua selang terbuka di R Jika 23 C T sehingga 23 adalah Medan-a, maka 23
disebut Medan Borel yang anggotanya disebut himpunan Borel.
Definisi 18 (Ukuran peluang)
Misalkan fi adalah ruang contoh suatu percobaan dan 7 adalah Medan-u pads R.
Suatu fungsi P yang mernetakan unsur -unsur T ke himpunan bilangan nyata R,
atau P:T + R disebut ukuran peluang jika :
I. P tak negatif, yaitu untuk setiap A
E F, P(A)
2 0.
2. Bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1,A2, ... E T dengan A, n A k = 0,
j # k maka P(U,",l
An) = C&=,P(An).
3. P bemorma satu, yaitu P(R) = 1.
Pasangan (n,T,P) disebut ruang peluang atau ruang probabilitas.
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 19 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
P(A
n B)
= P(A)P(B).
Secara umum himpunan kejadian (Ai; i E I) dikatakan saling bebas jika :
untuk setiap himpunan bagian Jdari I.
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Peubah acak dan fungsi sebaran
Defioisi 20 (Peubah acak)
Misalkan
adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang
~erdefinisipada
a yang memetakan setiap unsur
E
ke satu dan hanya satu
bilangan real X(U) = x disebut peubah acak.
(Hogg et ~1.2005)
Ruang dari Xadalah himpunan bagian bilangan real d={ x : x = X ( o ) , o E a).
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak
memiliki fungsi sebaran.
Definisi 21 ( Fungsi sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang d d a n kejadian A = (-m, x ] c d
maka peluang dari kejadian A adalah
px(A) = P(X Ix ) = Fx(x).
Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah acakX.
(Hogg el al. 2005)
Definisi 22 (Peubah acak diskret)
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari
peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 23 (Fuugsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret Xadalah fungsi p: R -t [0,1] yang
diberikan oleh:
p x ( x ) = P(X = x ) .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 24 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak Xdisebut peubah acak Poisson dengan parameter l, h> 0, jika
fungsi massa peluangnya diberikan oleh
(Ross 2007)
Lema 6 (Jumlah peubah acakPoisson)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliii sebaran
Poisson dengan parameter berturut - turut I=dan 1,. Maka X+Ymemiliki sebaran
Poisson dengan parameter hl+h2.
(Taylor dan Karlin 1984)
Bukti: lihat Taylor dan Karlin (1984).
Nilai harapan, ragam dan momen
Definisi 25 (Nilai harapan)
Misalkan Xadalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px(x). Nilai
harapan dari X,dinotasikan dengan E(X), adalah
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 26 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px(x) dan
nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan V a r m atau :a ,
adalah
Definisi 27 (Covarian)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak, covariance dari X dan Y didefmisikan
sebagai Cov(X, Y ) = E[(X - E(x))(Y
- E(Y))].
(Hogg et al. 2005)
Definisi 28 (Fungsi indikator)
-
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi
IA: fl
{0,1},yang diberikan oleh:
1, jika w E A
0, jika w E AC.
Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan ha1 berikut :
EIA = P(A).
(Grimmet dan Stirzaker 200 1)
Kekonvergenan peubah acak
Terdapat
beberapa
cam
untuk
menginterpretasikan
pernyataan
kekonvergenan barisan peubah acak, Xn + X untuk n -t w.
Definisi 29 (Kekonvergenan dalarn peluang)
Misalkan Xl,X2,
..., X
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
(Q,F,P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X,
dinotasikan Xn 5 X, jika untuk setiap s > 0 berlaku P(IXn - XI
> e ) + 0, untuk
n + w.
(Grimmett dan Stiaaker 2001)
Penduga dan sifat - sifatuya
Definisi 30 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
tergantung pada satu atau bebempa parameter yang nilainya tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 31 (Penduga)
Misalkan XI, Xz, ...,Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(Xi, X,,
...,Xn) yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter g(B), diiatakan sebagai penduga
(estin~ator)bagi d B ) ,dilambangkan oleh &(B).
Bilamana nilai Xl = xl, X2 = x,,
..., Xn = x,,
maka nilai U(Xl, X2, ...,Xn)
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g(0).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 32 (Penduga tak bias)
Suatu penduga yang nilai harapannya sarna dengan parameter g(O), yaitu
(i)
E[U(Xl,X2,
...,Xn)]=g(0)
disebut penduga tak bias bagi parameter g(0).
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
(ii) Jika lim,
...
EIU(Xl, X2, ,X,)] = g(O), maka U(Xl,X2, ...,X,) disebut
penduga tak bias asimtotik bagi g(0).
(Hogg et at. 2005)
Definisi 33 (Penduga Konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(0), disebut
penduga konsisten bagi g(0).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 34 (MSE suatu penduga)
Mean
Square Error (MSE)
dari suatu penduga
U bagi
parameter
g(0), didefinisikan sebagai:
MSE(U) = E(U - g(0))2 = (Bias(U))'
+ Var(U),
dengan
Bias (U) = EU - g(0).
(Cassela dan Berger 1990)
Definisi 35 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas h disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan
Bore1 terbatas B kita peroleh
p(~=
)
h(s)ds
m.
(Dudley 1989)
Definisi 36 (0 (.) )
Simbol 'big-oh' ini merupakan cara untuk membandingkan besamya dua fungsi
u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u(x) = O (v(x)) ,x -, L,
menyatakan bahwa
1 ~ f .terbatas,
l untuk x
+ L.
Definisi 37 (o(.))
Simbol 'little-oh' ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi
u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u(x)=o(v(x)) ,x -+ L,
menyatakan bahwa
p
g
1-+
0, untuk x
+L
(Sertling 1980)
Dengan menggunakan Definisi 23 dan 24 kita peroleh ha1 berikut:
a. Suatu barisan bilangan nyata {a,)disebut terbatas dan ditulis a,=O(1) untuk
n + m, jika ada bilangan terhiigga A dan B sehingga B < a, < A untuk
semua bilangan asli n.
b. Suatu barisan { b,)
yang konvergen ke nol, untuk n
+ m,
dapat ditulis
b,,=o(l), untuk n + a.
(Purcell dan Varberg 1998)
Definisi 38 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi jika berlaku
1im2
h-ro2h
J-h (
s
+x ) -( s )
dx = O.
(Wheeden dan Zygmund 1977)
Lema 7 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titikx. Maka
untuk y
+ x.
(Serfling 1980)
Bukti: lihat Serfling (1980).
Lema 8 (Pertidaksarnaan Chebyshev)
Jika Xadalah peubah acak dengan nilai harapan p dan ragam a2,maka untuk
setiap k>O,
(Ross 2007)
Bukti : lihat Ross (2007).
LEma 9 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika Xdan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka
E[XY] 5
Jm,
dan akan bemilai ' sama dengan' jika dan hanya jika P(X = 0) = 1 atau
P(Y = aY) = 1untuk suatu konstanta a.
(Helms 1996)
Bukti : lihat Helms (1996)