handout analisis komplek

HANDOUT ANALISIS KOMPLEK
Geometri Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z  x  iy dapat dikaitkan dengan titik (x,y) di bidang datar dan
sebaliknya. Dalam prakteknya antara bilangan kompleks z  x  iy dan titik (x,y) tidak
dibedakan, sehingga dapat menyatakan bilangan (x,y) denga titik z  x  iy . Dalam hal
ini bidang datar tersebut diberi nama bidang kompleks atau bidang z. Sumbu x dan
sumbu y masing-masing disebut sumbu real dan sumbu imajiner. Selain itu, bilangan
kompleks z  x  iy dapat pula dipandang sebagai vektor pada bidang datar yang
berpangkal di titik pusat O dan pada titik (x,y). Argumen z yang kemudian disebut arg z
didefinisikan sebagai salah satu sudut yang dibentuk oleh vektor z dengan sumbu nyata
y
positif, sehingga arg( x | iy ) adalah suatu sudut  sedemikian rupa sehingga sin  
z
dan cos  
x
.
z
Bilangan kompleks z  x  iy pada bidang kompleks dapat digambarkan seperti
dibawah ini:
Sifat- sifat z :
1.
z  z  z
2.
z  w  w z
Argumen bilangan kompleks bukanlah besaran yang yang tunggal. Setiap z  0
mempunyai takhingga banyaknya argumen yang berbeda antara satu dengan yang lain
dengnan kelipatan 2 . Denngan demikian argumen suatu bilangan kompleks
didefinisikan :
Argz  Argz  2k , k  Z
Dosen: Meyta Dwi Kurniasih,
HANDOUT ANALISIS KOMPLEK
Sebarang
bilangan
kompleks
z  x  iy
dapat
ditulis
dalam
bentuk
z  r (cos   i sin  ) yang sering ditulis dengan z  rcis dan bentuk kutub bilangan
kompleks.
SOAL LATIHAN
1. Sebutkan sifat-sifat yang lain dari |z|?
2. Carilah z  R sehingga:
3
a. z  2;arg z 
4

b. z  2;arg z 
4
3. Tentukan |z|, arg z, Re(z), Im (z) dari:
4. Buktikan | z |2  zz
5. Nyatakan dalam bentuk koordinat kutub:
6  8i
a.
3  4i
b.
1  i 2  
2 i

10
 2
c. 
 i  1 


i  3 
3
d.
1 i
2
2
6. Jika z bilangan kompleks sehingga zz  1 , buktikan 1  z  1  z  4
7. Gambarlah secara geometri himpunan titik-titik yang memenuhi kondisi berikut:
a. |z+3i| = 4
b. Im(z) < 0
c. Re(z) > 2
d. |z+1| + |z-1| = 8
e. |Re(z)| + |Im(z)| = 1
8. Hitunglah:
1
a.
 1 2
b.
1  i  4
1
1
1
3 2
c.   i

2
2 

9. Tentukan semua nilai z yang memenuhi: z 2  2 z  i  0 !
Dosen: Meyta Dwi Kurniasih,
HANDOUT ANALISIS KOMPLEK
Fungsi Peubah Kompleks
Definisi fungsi kompleks mirip dengan definisi fungsi real, yaitu dengan
mennggantikan peubah bebas x dengan z dan peubah takbebas y dengan w. Suatu
lambang misalkan z yang dapat mempunyai arti sesuatu unsur dari suatu himpunan
bilangan kompleks dinamakan suatu peubah kompleks.
Jika setiap nilai yang merupakan suatu peubah kompleks z dapat diandalkan
terdapat satu atau lebih nilai peubah kompleks w, kita mengatakan bahwa w adalah
suatu fungsi dari z dan ditulis w  f ( z ) atau w  G ( z ) . Peubah z dinamakan suatu
peubah bebas sedangkan w dinamakan peubah takbebas. Nilai suatu fungsi di z  a
ditulis f (a ) . Jadi jika f ( z )  z 2 , maka f (2i)  (2i)2  4 .
Dalam fungsi kompleks itu terdapat fungsi bernilai tunggal dan fungsi bernilai
banyak. Jika hanya satu nilai wq dikaitkan pada setiap nilai dari z kita mengatakan
bahwa w adalah suatu fungsi bernilai banyak dari z.
Fungsi bernilai tunggal : diberikan himpunan A  C dan B  C . Fungsi kompleks
bernilai tunggal f : A  B adalah suatu aturan memasangkan setiap z  A dengan tepat
satu w  B yang dinotasikan dengan w  f ( z ) . Contoh fungsi tunggal adalah f ( z )  z 2
dengan z  2  i .
Fungsi bernilai banyak : diberikan himpunan A  C dan B  C . Fungsi kompleks
bernilai banyak f : A  B adalah suatu aturan memasangkan setiap z  A dengan paling
sedikit satu w  B dan terdapat z  A yang di dua pasangkan dengan paling sedikit dua
1
2
w  B . Contoh fungsi bannyak: w  f ( z )  z , z  0, z  rcis .
Soal Latihan
1. Jika f ( z )  z 2 , tentukan nilai Re(f(z)) dan Im(f(z))?
2. Jika f ( z )  2iz  6 z , tentukan nilai Re(f(z)) dan Im(f(z))?
3. Dikatahui:
f ( z )  3z  i
g ( z)  z 2  z  1  i
Hitunglah:
a. ( f  g )( z )  ....
b. ( f  g )( z )  ....
c. ( gof )( z )  ....
4. Tentukan:
a. f (2i) jikaf ( z )  z 2  2 z  1
b.
f (2  i) jikaf ( z )  3[Re( z )]2  iz
Dosen: Meyta Dwi Kurniasih,
HANDOUT ANALISIS KOMPLEK
z 1
z 1
c.
f (i ) jikaf ( z ) 
d.
f (4  4i) jikaf ( z) | z |2 [Re( z)]2
5. Nyatakan fungsi f ke dalam bentuk u ( x, y )  iv( x, y ) atau u (r , )  iv(r ,  ) :
a.
f ( z )  z 2  3z 3
b.
c.
i
f ( z )  iz  Im( )
z
f ( z )  2iz
d.
f ( z) 
Dosen: Meyta Dwi Kurniasih,
z i
z i