Relasi antar dua variabel

Relasi antar
dua variabel
Penyusun: Bevina D.Handari
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Seorang pelanggan air minum setiap bulan
membayar tagihan dengan perincian sebagai berikut:
biaya pemeliharaan meter Rp 5.200, biaya beban
tetap Rp 14.190, dan biaya pemakaian Rp 6.825/m3.
Bagaimana kita membantu pelanggan tersebut
mengestimasi pengeluarannya setiap bulan?
Dengan menggunakan fungsi yang tepat, kita dapat
mengestimasi pengeluaran pelanggan air minum
tersebut.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Sesuai dengan itu, lingkup subpokok bahasan adalah
karakteristik grafik dan fungsi 2, khususnya
karakteristik fungsi.
Dalam karakteristik fungsi akan dipelajari jenis fungsi
linier, fungsi berbanding lurus, fungsi berbanding
terbalik, dan fungsi eksponensial yang dapat
menjelaskan relasi antara peubah terikat dengan
peubah bebas.
Pengetahuan ini dapat memperkaya kita dalam
menjelaskan/menganalisis suatu masalah.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
DAFTAR ISI
Pembahasan Fungsi:
Fungsi
Fungsi linier
Fungsi
Eksponensial
Fungsi Berbanding
Terbalik
Fungsi Berbanding
Lurus
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Relasi antara temperatur dengan kedalaman bumi
dalam bentuk tabel dan grafik batang merupakan
sebuah fungsi, yaitu T=30 x.
Pada fungsi tersebut, peubah terikat (T) adalah sama
dengan sebuah konstanta (yaitu 30) dikali dengan
peubah bebas (x). Dengan kata lain peubah terikat
berbanding lurus dengan variabel bebas, dan fungsi
tersebut dikenal sebagai fungsi berbanding
lurus/langsung. Temperatur berbanding lurus
dengan kedalaman bumi.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Peubah terikat
adalah sama
dengan perkalian
sebuah konstanta
dengan peubah
bebas
Notasi simbolik
y=c.x,
c konstanta
Fungsi
Berbanding
Lurus
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik fungsi berbanding lurus:
Grafik fungsi berbanding lurus adalah
garis lurus melalui titik (0,0)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Fungsi berbanding lurus merupakan bagian dari fungsi
linier. Pada fungsi linier relasi antara peubah dapat
dinyatakan dalam sebuah garis lurus.
Fungsi linier tidak
harus melalui (0,0)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Relasi antara peubah x
dan y dalam fungsi
linier
y = c.x+b,
Jika c=0,
bagaimana
grafik
fungsinya?
c dan b
konstanta
Jika b=0,
bagaimana
grafik
fungsinya?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Berikut adalah grafik produksi x dalam 5 tahun (ton):
Produksi x dalam 5 tahun (ton)
7
6
Produksi x (ton)
5
4
3
2
1
0
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Tahun
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik tersebut menjelaskan jika hingga pada tahun
2010 sudah diproduksi produk x sebanyak 5 juta ton,
dan diasumsikan produk x dapat diproduksi dengan
jumlah yang sama tiap tahunnya sebesar 0,25 ton
hingga lima tahun ke depan, maka dapat diestimasi
total jumlah produk x setiap tahun hingga lima tahun
ke depan.
Grafik menunjukkan relasi antara peubah terikat
produksi (x) dengan peubah bebas tahun (t) sebagai
berikut: x = 0,25 t + 5. Dalam hal ini produksi x
merupakan fungsi linier terhadap waktu.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Produksi x dapat dinyatakan dalam tabel:
Tahun
Produksi x (ton)
2010
5
2011
5,25
2012
5,5
2013
5,75
2014
6
2015
6,25
Laju perubahan produksi pada tahun 2010-2011:
(5,25-5)/(2011-2010)=0,25.
Berapakah laju perubahan produksi pada selang
waktu yang lain?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Perhatikan bahwa laju perubahan produksi x pada
selang waktu yang lain adalah juga 0,25.
Fungsi linier adalah satu-satunya fungsi dengan laju
perubahan konstan.
Pada fungsi linier, perubahan peubah terikat dibagi
dengan perubahan peubah bebas pada sebarang
selang waktu berupa sebuah konstanta yang disebut
sebagai kemiringan garis (slope). Apa peranan
kemiringan garis dalam sebuah grafik?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Besar kemiringan
dari garis
menentukan
seberapa curam
garis lurus tersebut.
Fungsi linier dalam
notasi simbolik
y=c x+b,
c,b konstanta
Grafik c<0?
Grafik c=-2?
Grafik c=0?
Grafik c=-5?
Grafik c>0?
Grafik c=2?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Grafik c=5?
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bandingkan kemiringan dari 3 grafik ini.
y=3
y=2x+3
y=5x+3
3.5
3
30
30
25
25
2.5
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
Grafik dengan nilai konstanta c manakah yang paling
curam?
Karakteristik grafik apakah yang dapat anda
jelaskan?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
5
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik pertama adalah grafik mendatar karena nilai
konstanta c nol. Nilai grafik fungsi bergantung pada
konstanta b.
Dua grafik di kanannya adalah grafik fungsi naik.
Grafik dengan konstanta c yang lebih besar lebih
curam dari pada grafik dengan konstanta c yang
lebih kecil.
Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan
positif yang lebih besar.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Apa beda 2 grafik ini dengan grafik sebelumnya?
y=-2x+3
y=-5x+3
5
5
0
0
0
1 2
3
4
5
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
-25
-25
1 2
3
4
Nilai konstanta c pada dua grafik di atas negatif.
Karakteristik grafik apakah yang dapat anda
jelaskan?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
5
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Dua grafik tersebut adalah grafik fungsi turun.
Grafik dengan konstanta c yang lebih kecil lebih
curam dari pada grafik dengan konstanta c yang
lebih besar.
Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan
negatif yang lebih besar.
Dapat disimpulkan bahwa konstanta c menunjukkan
kemiringan garis, dan kecuraman grafik. Kemiringan
garis merepresentasikan besar laju perubahan.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bagaimana dengan grafik berikut? Apakah grafik ini
merupakan grafik fungsi linier?
Relasi Kuat Arus dan Hambatan
50
45
40
35
Hambatan (Amp)
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
Kuat Arus (Ohm)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
30
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Representasi tabel dari grafik tersebut adalah:
Kuat Arus (Ohm)
Hambatan (Amp)
5
44
10
22
15
14,7
20
11
25
8,8
30
7,3
Perhatikan bahwa laju perubahan tidak sama di
setiap selang.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Laju perubahan pada selang hambatan (5,10) adalah:
(22-44)/(10-5)=-4,4. Laju perubahan pada selang
hambatan (20,25) adalah: (8,8-11)/(25-20)=-0,44.
Karena laju perubahan tidak sama maka grafik di
atas bukan grafik fungsi linier.
Dari grafik dapat dilihat bahwa semakin besar nilai
peubah bebas hambatan, nilai peubah terikat kuat
arus mengecil. Berarti grafik diatas adalah grafik
fungsi turun.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Hal yang menarik, jika kita kalikan masing-masing nilai
peubah bebas dengan nilai peubah terikatnya maka
kita peroleh bilangan yang sama, yaitu 220.
Kuat Arus
(Ohm) (x)
Hambatan
(Amp) (y)
Hasil Kali x.y
5
44
220
10
22
220
15
14,7
220
20
11
220
25
8,8
220
30
7,3
220
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Jika nilai peubah terikat dikali dengan nilai peubah
bebas adalah bilangan yang sama, maka fungsi
dengan karakteristik tersebut disebut sebagai fungsi
berbanding terbalik.
Secara simbolik dapat dinyatakan sebagai y x = c,
dimana y peubah terikat, x peubah bebas dan c
konstanta. Notasi yang lebih umum digunakan
𝑐
adalah y = 𝑥 .
Kuat arus berbanding terbalik terhadap hambatan.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Sampai saat ini kita sudah mempelajari:
Fungsi linier
Bentuk khusus
Fungsi
Berbanding
Terbalik
Fungsi
Berbanding
Lurus
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bagaimana dengan grafik berikut? Fungsi apa yang
direpresentasikannya?
Pertumbuhan Hutang
12000
Hutamg (ribu rupiah)
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Bulan
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
12
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Banyak dijumpai data yang merepresentasikan
pertumbuhan atau penurunan suatu besaran. Grafik
sebelumnya merepresentasikan pertumbuhan.
Grafik di atas adalah grafik pertumbuhan hutang
seseorang dalam 1 tahun, jika ia meminjam uang
sejumlah Rp 200.000 rupiah dengan bunga 40% per
bulan. Grafik dapat dinyatakan dalam tabel dan
grafik batang sebagai berikut:
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Bulan ke
Besar
Hutang
0
200
1
280
2
392
12000
3
548,8
10000
4
768,3
5
1075,6
6
1505,9
7
2108,3
8
2951,6
9
4132,2
10
5785,1
11
8099,1
12
11338,8
Hutamg (ribu rupiah)
Pertumbuhan Hutang
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Bulan
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
8
9 10 11 12
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI
Laju perubahan
tidak sama
pada setiap
selang waktu
Hasil kali antar
dua peubah
tidak konstan
Bukan fungsi
linier
Bukan fungsi
berbanding
terbalik
Fungsi apakah
yang mungkin?
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
2
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Perhatikan tabel berikut:
Rasio adalah perbandingan
besar hutang bulan ini dengan
besar hutang bulan lalu
Bulan ke
Besar
Hutang
Rasio
0
200
-
1
280
1,4
2
392
1,4
3
548,8
1,4
4
768,3
1,4
5
1075,6
1,4
6
1505,9
1,4
7
2108,3
1,4
8
2951,6
1,4
9
4132,2
1,4
10
5785,1
1,4
11
8099,1
1,4
12
11338,8
1,4
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑖
𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑙𝑢
=1,4
Besar hutang bulan ini=
1,4 x Besar hutang bulan lalu
Berarti laju pertumbuhan hutang adalah
40% karena besar hutang bulan ini =
(1+0,40) x besar hutang bulan lalu
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Grafik tadi menunjukkan bahwa nilai suatu besaran
di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali
dengan konstanta lebih besar dari 1, yaitu 1,4.
Karakteristik tersebut merupakan ciri dari
pertumbuhan eksponensial.
Grafik berbentuk melengkung ke atas sehingga laju
pertumbuhan besar hutang meningkat.
Pertumbuhan hutang tumbuh secara eksponensial.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2
Jika suatu grafik menunjukkan bahwa nilai suatu
besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di
kali dengan konstanta lebih kecil dari 1, misalnya 0,5.
Maka karakteristik ini menunjukkan penurunan
eksponensial.
Fungsi Eksponensial
Pertumbuhan
Eksponensial
Penurunan
Eksponensial
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KESIMPULAN
Fungsi Linier,
Fungsi Berbanding
Lurus
Apa yang
sudah kita
pelajari?
Karakteristik
Fungsi
Fungsi Berbanding
Terbalik
Fungsi
Eksponensial
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
SARAN
Gunakan pengetahuan kita mengenai karakteristik
fungsi dalam menjelaskan/menganalisa suatu
masalah.
Gunakan data untuk membentuk grafik fungsi jika
memungkinkan.
Gunakan grafik fungsi untuk menjelaskan suatu
perubahan, misalnya laju perubahan yang
berbanding lurus/terbalik atau meningkat/menurun
secara eksponensial.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
DAFTAR PUSTAKA

Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of
Mathematics with Applications, Pearson Addison
Wesley, 8Ed, 2009.
 Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey,
Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.
 Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison
Wesley, 3Ed, 2006.
 Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools
For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing,
2007.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Sekian
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia