Irisan kerucut dan kordinat kutub

Irisan kerucut dan kordinat kutub
Agus Yodi Gunawan
1
Irisan kerucut
1. Konik. Misalkan ℓ adalah suatu garis tetap di bidang. Garis ini disebut direktrik.
Misalkan pula F suatu titik tetap yang terletak di luar garis ℓ. Titik F biasa
disebut fokus. Himpunan semua titik P sedemikian sehingga perbandingan antara
jarak titik P ke fokus (|P F |) dengan jarak titik P ke garis (|P L|) adalah tetap
sebesar e > 0, yaitu himpunan semua titik P sehingga |P F | = e|P L|, dinamakan
konik/ irisan kerucut. Nilai e biasa disebut eksentrisitas.
• Jika e = 1, konik merupakan sebuah parabola,
• Jika 0 < e < 1, konik merupakan sebuah elips,
• Jika 0e > 1, konik merupakan sebuah hiperbola.
2. Parabola. Misalkan fokus F terletak di sumbu x positif dengan kordinat (p, 0)
dan direktrik diberikan oleh x = −p. Misalkan pula titik P = (x, y) sehingga
|P F | = |P L|. Dengan demikian,
√
(x − p)2 + (y − 0)2 =
√
(x + p)2 + (y − y)2
atau
y 2 = 4px.
Bentuk ini dinamakan persamaan baku untuk parabola mendatar terbuka kanan.
3. Elips dan hiperbola. Misalkan fokus terletak di F (c, 0), direktrik di x = k (titik
L(k, 0)), dan verteks di A′ (−a, 0) dan A(a, 0), dengan a, c, k semuanya positif. Misalkan pula O(0, 0) merupakan pusat dari elips atau hiperbola. Terdapat dua urutan
titik F − A − L yang mungkin:
(a) jika c < a < k. Dengan memilih P = A, dari |P F | = e|P L| kita peroleh,
a − c = e(k − a).
(b) jika k < a < c. Dengan cara yang sama kita peroleh
c − a = e(a − k).
1
Kedua urutan titik-titik di atas menghasilkan relasi yang sama. Selanjutnya kita hitung |P F | = e|P L| untuk titik-titik A′ (−a, 0), F ′ (−c, 0) dan garis x = −k sehingga
diperoleh
a + c = e(k + a).
Dari relasi-relasi di atas akan diperoleh hubungan
c = ea, k = a/e.
Catatan:
(a) jika 0 < e < 1, maka c = ea < a dan k = a/e > a. Artinya, untuk elips fokus
terletak di sebelah kiri verteks dan direktriks di sebelah kanan verteks.
(b) jika e > 1, maka c = ea > a dan k = a/e < a. Artinya, untuk hiperbola
direktriks terletak di sebelah kiri verteks dan fokus terletak di sebelah kanan
verteks.
Selanjutnya, misalkan P (x, y) titik pada elips (atau hiperbola). Titik L(a/e, y)
merupakan proyeksi titik P pada garis direktriks. Dari |P F | = e|P L| kita peroleh
persamaan baku untuk elips,
x2
y2
+
= 1, 0 < e < 1
a2 a2 (1 − e2 )
dan persamaan baku untuk hiperbola,
x2
y2
−
= 1, e > 1.
a2 a2 (e2 − 1)
2
Persamaan parameter kurva di bidang
1. Definisi. Sebuah kurva berarah di bidang ditentukan oleh pasangan persamaan
parameter
x = f (t), y = g(t), t ∈ I
dengan f dan g masing-masing fungsi kontinu di selang tutup I = [a, b]. Peubah
t biasa disebut parameter. Titik P = (f (a), g(a)) dan Q = (f (b), g(b)) masingmasing disebut titik awal dan titik akhir kurva. Jika titik awal dan titik akhir kurva
berhimpit maka kurva merupakan kurva tertutup. Jika nilai t berbeda memberikan
pasangan titik (f (t), g(t)) berbeda (kecuali titik awal dan akhir) maka kurva dinamakan kurva sederhana.
Parameterisasi/representasi parameter suatu kurva adalah proses penentuan pasangan persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) beserta penentuan selang parameter t.
2
Untuk mengenali kurva dari suatu persamaan parameter, kita dapat melakukannya dengan cara mengeliminasi parameter t dari persamaan parameter sehingga
diperoleh hubungan antara x dan y.
Representasi parameter suatu kurva tidak tunggal.
2. Gradien kurva dari persamaan parameter. Misalkan f (t) dan g(t) masingmasing fungsi terdiferensialka secara kontinu di selang buka I = (α, β) dan f ′ (t) ̸= 0.
Maka, persamaan parameter x = f (t), y = g(t) mendefinsikan fungsi terdiferensialkan y(x) dengan
dy
dy/dt
=
.
dx
dx/dt
3. Integral persamaan parameter. Misalkan diberikan sepasang persamaan parameter x = f (t), y = g(t) dan kita ingin menghitung integral
∫b
∫d
F (x, y)dx atau
G(x, y)dy.
c
a
Integral tersebut dapat dihitung dengan
∫tb
∫td
′
F (f (t), g(t))f (t)dt atau
ta
G(f (t), g(t))g ′ (t)dt,
tc
dengan f (ta ) = a, f (tb ) = b atau f (tc ) = c, f (td ) = d.
3