TI201-052116-606-10 30KB Jan 04 2012 11

PARABOLA
Parabola : Tempat kedudukan semua titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu (disebut
focus = titik api) dan sebuah garis tertentu (disebut direktris).
I. Persamaan 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 , gambarnya sebagai berikut.
Y
g
M
O
F
X
g = garis direktriks
F = Fokus
O = Titik Puncak parabola
MN = Latus Rectum
N
1. Titik puncak di O (0,0)
2. Fokus F (p, 0).
3. Persamaan direktris, x = – p.
4. Panjang Latus Rectum (disebut juga: tali busur fokal terpendek) adalah 4p.
5. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada parabola adalah : yy1 = 2p (x + x1)
6. Persamaan garis polar titik (x1,y1) di luar parabola adalah : yy1 = 2p (x + x1)
7. Persamaan garis singgung bergradien m :
𝑝
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑚
II. Persamaan (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎)
1. Titik puncak di O (a,b)
2. Fokus F (a + p, b).
3. Persamaan sumbu simetri, y = b.
4. Persamaan direktriks, x = a – p.
5. Panjang Latus Rectum = 4p.
6. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada parabola adalah
1
(y – b )(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)
7. Persamaan garis polar titik (x1,y1) di luar parabola adalah
(y – b )(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)
8. Persamaan garis singgung bergradien m :
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) +
𝑝
𝑚
Sketsa gambarnya:
Y
g
O
X
2
ELIPS
Elips : Tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (disebut
fokus = titik api) adalah sama/tetap. Jumlah jarak yang tetap tersebut = 2a, a > 0.
Y
C
K
A
M
.
F1
.
O
F2
L
B
X
N
D
I. Jika persamaan Elips:
𝑥2
+
𝑎2
𝑦2
𝑏2
= 1 maka berarti:
1. Titik pusat elips di O (0,0)
2. Fokus F1 (– c ,0) dan F2 (c,0) ; F1F2 = 2c.
3. AB = sumbu mayor = 2a
CD = sumbu minor = 2b
4. Sumbu utama (transvers axis) = sumbu simetri yang melalui F1 dan F2 .
Sumbu sekawan (conjugate axis) = sumbu simetri yang merupakan sumbu F1F2
(dalam hal ini adalah sumbu Y).
5. Titik puncak elips di titik A( – a,0), B(a,0), O(0,– b ), C(0,b)
6. Latus rectum = KL = MN =
2𝑏 2
𝑎
.
𝑏2
7. Koordinat titik ujung Latus Rectum adalah 𝐾 (−𝑐, 𝑎 ), 𝐿 (−𝑐,
𝑁 (𝑐,
−𝑏 2
𝑎
).
3
−𝑏 2
𝑎
𝑏2
), 𝑀 (𝑐, 𝑎 ), dan
8. Hubungan a, b dan c adalah: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 .
9. Jika eksentrisitas adalah e, maka:
𝑒=
𝑐
𝑎
.
10. Persamaan garis singgung pada elips, bergradien m:
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2
11. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) yang terletak pada elips:
(𝑥1 )𝑥 (𝑦1 )𝑦
+
=1
𝑎2
𝑏2
II. Jika persamaan Elips:
(𝑥−𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦−𝑞)2
𝑏2
= 1 maka:
Y
P
X
O
1. Pusat di P(p,q)
2. Fokus F1 (p – c, q) dan F2 (p + c, q) .
3. Hubungan a, b dan c adalah: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
4. Jika eksentrisitas adalah e, maka:
5. Latus rectum =
𝑒=
𝑐
𝑎
2𝑏 2
𝑎
6. Persamaan garis singgung bergradien m :
𝑦 − 𝑞 = 𝑚(𝑥 − 𝑝) ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2
7. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada elips :
(𝑥1 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) (𝑦1 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞)
+
=1
𝑎2
𝑏2
4
HIPERBOLA
Hiperbola : Tempat kedudukan semua titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu
adalah sama.
Kedua titik tertentu disebut: Fokus (Titik Api), jarak kedua Fokus = 2c.
Selisih jarak yang sama = 2a ; (a > 0).
I.
Jika persamaan Hiperbola:
𝑥2
𝑎2
−
𝑏2
= 1 , berarti:
Y
g1
K
F1
𝑦2
g2
M
D
A
O
L
B
C
F2
X
N
1. Pusat O (0,0)
2. Fokus F1 (– c ,0) dan F2 (c,0).
3. Titik Puncak A (–a,0 dan B (a,0).
4. AB = sumbu nyata = 2a.
CD = sumbu imajiner = 2b.
5. Sumbu utama adalah sumbu X .
Sumbu sekawan adalah sumbu Y.
6. Persamaan direktris 𝑔1 ∶ 𝑥 =
7. Panjang Latus Rectum =
𝑏
2𝑏 2
𝑎
−𝑎2
𝑐
dan 𝑔2 ∶ 𝑥 =
= KL = MN.
𝑏
8. Asimtot 𝑦 = 𝑎 𝑥, dan 𝑦 = − 𝑎 𝑥 .
9. Hubungan a, b, dan c adalah: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
5
𝑎2
𝑐
𝑐
10. Eksentrisitas (e) adalah 𝑒 =
𝑎
dengan e > 1
11. Persamaan garis singgung bergradien m
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏 2
(𝑥−𝑝)2
II. Jika persamaan Hiperbola:
𝑎2
−
(𝑦−𝑞)2
𝑏2
= 1 maka:
1. Pusat di (p,q).
2. Fokus F1 (p – c, q) dan F2 (p + c, q) .
3. Puncak A(p – a, q) dan B(p + a, q)
4. Sumbu utama adalah y = q
Sumbu sekawan adalah x = p
5. Sumbu nyata AB = 2a
Sumbu imajiner CD = 2b
6. Persamaan direktris 𝑔1 ∶ 𝑥 = 𝑝 −
7. Panjang Latus rectum =
2𝑏 2
𝑎
𝑎2
𝑐
dan 𝑔2 ∶ 𝑥 = 𝑝 +
𝑎2
𝑐
.
𝑏
𝑏
8. Asimtot 𝑦 − 𝑞 = 𝑎 (𝑥 − 𝑝), dan 𝑦 − 𝑞 = − 𝑎 (𝑥 − 𝑝) .
9. 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
10. Eksentrisitas (e), 𝑒 =
𝑐
𝑎
dengan e > 1
===000===
6