FUNGSI non LINEAR

MATEMATIKA EKONOMI
DAN BISNIS
Nuryanto.ST.,MT
Fungsi Non Linear
Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika
untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang
menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh
sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan
memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami
teoriteori ekonomi.
Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan
lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier
merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena
lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang
menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya
persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua
aplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang
dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran
Nuryanto.ST.,MT
Fungsi Non Linear
Dengan mempelajari fungsi non linear ini, secara umum diharapkan dapat memahami berbagai
macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya dan dapat menggambarkan grafiknya. Di
samping itu, Anda diharapkan mampu untuk menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk
membuat gambar grafiknya,membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips,
parabola dan hiperbola, menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta
batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya
Nuryanto.ST.,MT
Grafik Kurva Non-Linear
Polinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah ungkapan yang mengandung
suku-suku kxrys, di mana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s)
pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan
dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini
disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva
aljabar. Suatu contoh kurva aljabar adalah garis lurus.
Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu dengan memperhatikan
kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan
jumlahnya tidak terlalu banyak Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan
kegunaannya adalah sebagai berikut:
Nuryanto.ST.,MT
Titik Potong
Titik potong suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik potong
dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 ke dalam persamaan dan kemudian
mencari nilai x nya. Titik potong dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam
persamaan dan kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi, titik-titik
potong ini harus dicari.
Nuryanto.ST.,MT
Simetris
Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan
jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama.
Contoh
Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,y)
terhadap sumbu y.
Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di tengah-tengah garis yang
menghubungkan ke dua titik tersebut.
Nuryanto.ST.,MT
Simetris
Contoh:
Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin.
Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik origin. Kurva simetris
terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga
terletak pada kurva.
Nuryanto.ST.,MT
Simetris
Contoh:
Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva simetris dengan titik (x,y) yang juga terletak pada kurva.
Nuryanto.ST.,MT
Simetris
Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap:
a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0
b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0
c.Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0
Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentu
simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya, kurva yang simetris terhadap origin belum tentu
simetris terhadap sumbu x dan y.
 Contoh :
Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2y + y + x3 = 0 merupakan fungsi dengan kurva yang
simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap salah satu sumbu.
Nuryanto.ST.,MT
Simetris
f(x,-y) = -x2y - y + x3 f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi
f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x.
f(-x,y) = x2y + y - x3  f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi
f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y.
f(-x,-y) = -x2y - y - x3 = 0  f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi
f(x,y) = 0 simetris terhadap origin.
Nuryanto.ST.,MT
Batas Nilai
Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilanganriil. Jadi untuk titik (x,y)
di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan
riil tetapi x bilangan imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan
variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya melibatkan akar dan
bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil. Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian
rupa sehingga semua titik mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu
persamaan, sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas.
Contoh
Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai batas?
x2 = 25 - y2
x = ± 25 −
2
Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y2 akan bertanda negatif bila:
25 - y2 < 0
- y2 < - 25 atau y > ±5
dan batas untuk y adalah -5 < y < 5
Nuryanto.ST.,MT
Batas Nilai
Batas untuk x:
y2 = 25 - x2
y = ± 25 −
2
Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila:
25 - x2 < 0
- x2 < 25 atau x > ±5
dan batas untuk x adalah -5 < x < 5
Nuryanto.ST.,MT
Asismtot Kurva
Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang
semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin atau dapat pula
dikatakan bahwa garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin
dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) - mx + b jika x
dan y - ∞.
Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis asimtot yang sejajar
sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar dengan sumbu x disebut asimtot
horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut asimtot vertikal dan didefinisikan:
Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk x → ∞.
Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Untuk
kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah gerakan suatu kurva
apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa batas (x → +∞ ; y → +∞) atau x
dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x → -∞; y → -∞). Di samping itu harus
diperhatikan juga nilai variabel yang tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya.
Hal ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari
kiri atau dari kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari
bawah (untuk asimtot horisontal).
Nuryanto.ST.,MT
Asismtot Kurva
Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0 mempunyai
asimtot horisontal atau vertikal?
Langkah pertama adalah mengeluarkan x:
x=
Nuryanto.ST.,MT
Asismtot Kurva
Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y → +∞, maka x → 4 dan x > 4.
Jika y → -∞, maka x → 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan asimtot vertikal yang
didekati oleh kurva dari kiri dan kanan.
Langkah kedua adalah mengeluarkan y:
y=
Jika x → +∞, maka y → 3 dan y > 3, tetapi bila x → -∞ maka y → 3 dan y < 3. Jadi y
= 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari atas dan bawah.
Nuryanto.ST.,MT
Faktorisasi
Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara dua
faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0. Dengan demikian maka grafik f(x,y)
= 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang
memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) = 0 terletak pada f(x,y) = 0.
Contoh:
Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0
2x2 - xy + 4xy - 2y2 = 0 (Faktorisasi)
x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0
(2x - y) (x + 2y) = 0
Jadi grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis
lurus yaitu: 2x - y = 0 dan x + 2y = 0.
Nuryanto.ST.,MT
Soal Latihan
Tentukan Titik Potong, Kesimetrisan, Batas Nilai, dan Asimtot Grafik dari persamaan
persamaan berikut :
1) y = (x + 2)(x - 3)2
2) y3 + xy2 - xy - x2 = 0
3) y2 - 4xy - 1 = 0
4) xy - y - x - 2 = 0
5) x2y - x2 - 4y = 0
Nuryanto.ST.,MT
Fungsi Kuadratik
Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola atau
bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan kuadratik:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A,B dan C tidak bernilai
sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris
dua buah kerucut dengan suatu bidang datar.
Dari persamaan kuadratik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dengan mudah dapat diketahui
secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.
Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.
Jika B2 - 4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips.
Jika B2 - 4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola.
Jika B2 - 4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.
Nuryanto.ST.,MT
Lingkaran
Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar
yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik
pada lingkaran ke pusat dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar lingkaran tersebut adalah
sebagai berikut:
Nuryanto.ST.,MT
Lingkaran
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:
x2 - 4x + y2 = 0
Bentuk umum lingkaran:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
x2 – 4x + y2 = 0 → ruas kiri dan kanan ditambah 4
x2 - 4x + 4 + y2 = 4
(x - 2)2 + (y - 0)2 = 22
Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.
Nuryanto.ST.,MT
Elips
Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang
jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi
secara simetris oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu
panjang dan yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut
pusat elips.
Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A, C, A dan C
berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam bentuk standar:
Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x. Akan tetapi
bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu
pendeknya 2b. Sumbu panjang disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari
pendek.
Nuryanto.ST.,MT
Elips
Contoh :
Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan:
Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang = 9 = 3
Jari-jari pendek = 4 = 2
Nuryanto.ST.,MT
Parabola
Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang
datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus
dan garisnya disebut "directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut
sumbu.
Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex“ parabola. Persamaan
umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar sumbu y adalah:
Ax2 + Dx + Ey + F = 0,
Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya:
Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
Bentuk persamaan standar dari parabola adalah:
(x - h)2 = 4p (y - k)
di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y; atau
(y - k)2 = 4p (x - h)
di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu, sedang p adalah
parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.
Nuryanto.ST.,MT
Parabola
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:
 Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah.
 Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas.
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:
 Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri.
 Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan.
Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p semakin besar, maka
parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian parabola dapat Anda perhatikan pada gambar
berikut.
Nuryanto.ST.,MT
Parabola
Contoh
Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2 - 4x + 4y + 16 = 0
dan tentukan vertexnya. Bentuk standar parabola:
(x - h)2
= 4p(y - k)
x2 - 4x + 4y + 16
=0
x2 - 4x + 4
= -4y - 16 + 4
(x - 2)2 = -4 (y + 3)
Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan
sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.
Nuryanto.ST.,MT
Hiperbola
Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar
yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu
yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu
"transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang saling berpotongan. Titik
potongnya disebut pusat hiperbola.
Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A dan C
berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk standar untuk hiperbola.
di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x. Asimtot
ditunjukkan oleh persamaan:
Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.
Nuryanto.ST.,MT
Hiperbola
Contoh
Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah
9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0.
Bentuk umum persamaan hiperbola:
9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0
9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16
9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 36
Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.
Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.
Nuryanto.ST.,MT
Hiperbola
Persamaan asimtot:
Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau 3x - 2y - 7 = 0
Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau 3x + 2y + 1 = 0
Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan tegak lurus. Apabila
asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, maka bentuk persamaan standar hiperbola
menjadi: (x - h) (y - k) = c
Nuryanto.ST.,MT
Soal Latihan
Tentukan bentuk dari persamaan kuadratik berikut, dan gambarkan
grafiknya:
1) x2 +y2 -6x -2y -6 = 0
2) xy -4y = 4
3) x2 +9y2 -8x +7 = 0
4) y2 - 4x2 -4y +4 = 0
5) y2 -2y -8x +25 = 0
Nuryanto.ST.,MT
Penggunaan Fungsi Non-Linear
Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada
umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier.
Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya
akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang
dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya.
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih
mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi nonlinier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua
aplikasinya dimuat dalam materi ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk
fungsi permintaan dan penawaran
Setelah mendapatkan mata kuliah ini mahasiswa diharapkan mampu:
a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi non-linier;
b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier;
c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang disajikan dalam bentuk
persamaan kuadratik;
d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan;
e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep kurva indifference;
f. menghitung kombinasi jumlah barang yang diminta dengan menggunakan konsep garis
anggaran.
Fungsi Permintaan & Penawaran
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang
merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga
oleh fungsi non-linear seperti berikut:
Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu horisontal menunjukkan
jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis
lengkung
Bentuk Kurva Parabola
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu vertikal) bentuk persamaan
umumnya dapat ditulis sebagai berikut
(Q - h)2 = 4p (P - k)
Bentuk Kurva Parabola
Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex (h, k) terletak di kuadran
kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h ≤ 0 dan k > 0.
Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola macam ini mempunyai p > 0
dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q
(sumbu horisontal) jadi h > 0 dan k ≤ 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran
pertama yaitu bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan yang
dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku mempunyai batas yaitu 0 < Q
< Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva yang menurun.
Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah parabola yang sumbunya sejajar
dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan bentuk umumnya adalah
(P - k)2 = 4p(Q - h)
Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik vertex terletak di kuadran
keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.Titik vertex (h,k) di kuadran keempat
ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0. Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan
dengan P > 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.Titik vertex
(h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h ≤ 0 dan k > 0.
Contoh
Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:P = 11-QPersamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut
4P = 44 - 4Q - Q2 + 4 – 4 atau
Q2 + 4Q + 4 = 4P + 48
(Q + 2)2 = -4(P - 12)
maka:
P = -1, h = -2, k = 12
Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11.
Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan
Q1 = -2 + 4√3
Q2 = -2 - 4√3
2
Soal Latihan
Tentukan harga keseimbangan dan grafik fungsi penawaran dan
permintaan dari persamaan – persamaan berikut :
1)
Permintaan: 2Q + P = 10
Penawaran: P2 – 4Q = 4
2)
Permintaan: 2Q2 + P = 9
Penawaran: Q2 + 5Q – P = -1
3)
Permintaan: Q = 64 – 8P – 2P2
Penawaran: Q = 10P + 5P2
4)
Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97
Penawaran: P – Q = 6
Thank You ............
Nuryanto.ST.,MT