Selamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website Pada
advertisement
Selamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website Pada Materi Barisan dan deret aritmatika L O A D I N G ... Created : Novialdi Bengkalis, 12 November 1993 A. Barisan Aritmaitka Apa anda sudah mengetahui tentang Barisan Aritmatika? gambar di atas adalah gambar sebuah ruangan gedung konser yang mempunyai 4 kursi pada barisan pertama, 6 kursi pada barisan kedua, 8 kursi pada barisan ke tiga , dan seterusnya. jika anda duduk pada kursi barisan 20. dapatkah kamu menentukan berapa banyak jumlah kursi pada barisan kamu duduk tanpa menghitung secara manual? Ternyata 4, 6, 8,…,20. merupakan Barisan Aritmatika Dengan Beda 2. jika anda perhatikan banyak kursi pada setiap barisan di ruangan gedung adalah 4, 6, 8,…,20. dari pernyataan tersebut, bahwa setiap suku barisan memliki beda(selisih) yang sama yaitu 2. yang berarti selisih antar 4 dan 6 adalah 2 , antara 6 dan 8 adalah 2. Nah. barisan yang memiliki beda yang sama ini disebut dengan Barisan Aritmatika. sedangkan Barisan Bilangan adalah himpunan bilangan-bilangan terurut yang mengikuti pola tertentu. Nah. Anda sudah mengetahui tentang barisan bilangan, barisan aritmatika. setiap bilangan pada suatu barisan bilangan disebut suku barisan dan dilaambangkan dengan U. Sekarang tuliskan pendapat Anda dibuku latihan tentang Definisi, dan maanfat bagi anda mempelari materi barisan aritmatika Bentuk umum dari suau barisan bilangan adalah U1, U2, U3,.. Definisi Barisan Aritmatika. Suatu barisan bilangan U1, U2, U3,.. un-1, Un disebut “Barisan Aritmatika” Jika berlaku Un-Un-1 = …= U3 – U2 = U2 – U1 Selisih antara dua suku yang berurutan disebut “Beda Barisan”, dilambangkan dengan “b” dan dirumuskan sebagai berikut : b = U2 – U1 = U3 – U2 …= Un-Un-1 UJI PEMAHAMAN SILAKAN KLIK MULAI DIBAWAH INI START SOAL 1 Apakah dari barisan bilangan berikut : 10, 20, 30, 40, 50, … termasuk barisan aritmatika? A. YA B. TIDAK SOAL 2 Berapakah suku dari barisan bilangan berikut : 10, 20, 30, 40, 50. A. 5 B. 4 SOAL 3 Berapakah nilai beda dari barisan bilangan berikut : 10, 20, 30, 40, 50. A. 5 B. 10 SOAL 4 Apakah sama nilai U3 – U2 = U2 – U1 dari barisan bilangan 10, 20, 30, 40, 50. A. YA B. TIDAK SOAL 5 Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda yang… A. tetap B. berbeda SILAKAN KLIK TOMBOL DI BAWAH INI UNTUK MELIHAT SKOR ANDA CEK NILAI Sekarang kamu telah memahami apa itu barisan aritmatika. Sekarang bagaimana mencari suku ke-n yang disebut Un. Perhatikan penjelasan berikut Jika suku pertama dari suatu barisan aritmaika adalah a, dan beda adalah b maka barisan aritmatika tersebut dinyatakan sebagai berikut π, π1 π + π, π2 π + 2π, … , π3 π+ π−1 π ππ berdasarkan uraian tersebut, suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut ππ = π + π − 1 π keterangan: a : suku pertama b : beda atau selisih Un : suku ke-n Contoh Soal 1 Tentuan suku pertama, beda, rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari 3, 7, 11, 15. Diketahui : barisan bilangan = 3, 7, 11, 15, …. Ditanya : suku pertama (U1), beda (b), rumus suku ke-n, 10(U10) Suku pertama = (U1) = 3 Beda = b = U3 – U2 = U2 – U1 = 4 Rumus suku ke-n : Un = a + (n-1)b = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n – 4 = 4n – 1 Suku ke -10 = Un = 4n – 1 = 4(10) – 1 = 39 suku ke Untuk mencari suku ke 10 bisa juga menggunakan cara berikut : Un = a + (n-1)b U10 = 3 + (10 – 1)4 = 3 + 36 = 39 Contoh Soal 2 dari barisaan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah... ππ = π + (π − 1)π π50 = π + (50 − 1)π π50 = π + 49π Langkah awal mencari nilai a dan b ππ = π + (π − 1)π π10 = π + (10 − 1)π π10 = π + 9π = 41 ….(1) π5 = π + (5 − 1)π π5 = π + (5 − 1)π π5 = π + 4π = 21 … (2) Cara selanjutnya yaitu dengan menggunakan metode eliminasi dan subsitusi. Eliminasi persamaan 1 dan 2 π + 9π = 41 π + 4π = 21, 5π = 20 b=4 subsitusikan nilai b = 4 ke persamaan (1) atau persamaan (2) π + 9π = 41 ….(1) π + 9(4) = 41 π + 36 = 41 π= 41 – 36 π= 5 Karena nilai a dan b sudah didapatkan, maka kita sudah bisa mencari nilai π50 π50 = π + 49π π50 = 5 + 49 4 π50 = 5 + 196 π50 = 201 Jadi, suku ke-50 dari barisan tersebut adalah πΌππ = πππ Contoh Soal 3 Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suke ke- n. jika π2 + π15 + π40 = 165, maka π19 πΌπ = π + π − π π Langkah awal yaitu mencari nilai a dan b Maka π2 = π + 2 − 1 π = π + π π15 = π + 15 − 1 π = π + πππ π40 = π + 40 − 1 π = π + πππ Substitusikan nilai π2 , π15 , π40 ke dalam soal π2 + π15 + π40 = 165 (π + π) + π + 14π + (π + 39π ) = 165 3a + 54b = 165 a + 18b = 55 maka πΌπ = π + π − π π πΌππ = π + ππ − π π πΌππ = π + πππ πΌππ = ππ Jadi, πΌππ = a + 18b = 55 Deret Aritmatika kamu sudah mempelajari tentang barisan aritmatika. Selanjutnya kamu akan mempelajari tentang deret aritmatika, apa itu deret aritmatika? Dan apa hubungannya dengan barisan aritmaitka? Perhatikan Ilustrasi Berikut Misalnya besarnya uang yang ditabung fika pada bulan pertama Rp10.000, bulan kedua Rp15.000, bulan ketiga Rp20.000, bulan keempat Rp25.000, dan bulan keenam Rp.30.000. dari ilustrasi tersebut dapat dituliskan dalam barisan aritmatika sebagai berikut : 10, 15, 20, 25, 30 Jumlah seluruh tabungan fika selama 10 bulan dapat dituliskan sebagai berikut : 10 + 15 + …+30 Penjumlahan tersebut dinamakan Deret Aritmatika Misal π1 , π2 , π3 , …, ππ−1, ππ adalah “BARISAN ARITMATIKA” DEFINISI ARITMATIKA Penjumlahan setiap suku barisan tersebut, yaitu π1 + π2 + π3 + …+ ππ−1 + ππ Disebut “DERET ARITMATIKA” Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk berikut: πΌπ + πΌπ + πΌπ + …+ πΌπ−π + πΌπ = π, π + π , π + ππ , … , π + π − π π , π + π − π π Jumlah n buah suku pertama dari barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk berikut : πΊπ = π + π + π + π + ππ + β― + π + π − π π + π + π − π π …(1) Dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, persamaan (1) dapat juga dinyatakan sebagai berikut: πΊπ = π + π − π π + π + π − π π + β― + π + ππ + π + π + π . . . (π) Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan sebagai berikut: πΊπ = π + π + π + π + ππ + β― + π + π − π π + π + π − π π πΊπ = π + π − π π + π + π − π π + β― + π + ππ + π + π + π + ππΊπ = ππ + π − π π + ππ + π − π π + β― + ππ + π − π π ππΊπ = π(ππ + π − π π) π πΊπ = π(ππ + π − π π) π Oleh karena suku ke-n barisan aritmatika dinyatakan sebagai ππ = π + π − 1 π , rumus ππ untuk barisan aritmatika dapat juga dinyatakan sebagai berikut: π πΊπ = π(ππ + π − π π) π Atau πΊπ = π π(π + π πΌπ ) Dan untuk mencari ππ dengan menggunakan ππ adalah : πΌπ = πΊπ − πΊπ−π Keterangan A : suku pertama b : beda atau selisih ππ : suku ke-n ππ : jumlah n suku pertama dari suatu barisan ππ − ππ−1 πΌπ = πΊπ − πΊπ−π 1 1 ππ = 2 π(2π + π − 1 π) = 2 (2ππ + π2 π − ππ) 1 ππ−1 = π − 1 2π + π − 1 − 1 π) 2 1 = π − 1 2π + π − 2 π 2 1 = 2ππ + π2 π − ππ − 2π − 2ππ + 2π 2 1 = 2ππ + π2 π − 3ππ − 2π + 2π 2 1 1 = 2 2ππ + π2 π − ππ - 2 2ππ + π2 π − 3ππ − 2π + 2π 1 = 2 2ππ + π2 π − ππ − 2ππ − π2 π + 3ππ + 2π − 2π 1 = 2π + 2ππ − 2π 2 = π + ππ − π =π + π − π π = πΌπ Contoh Soal 1 Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika berikut 2, 5, 8, 11, 14, ... Deret aritmatika: 2, 5, 8, 11, 14. Langkah awal mencari nilia a dan b π = π1 = 2 π = 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3 Rumusan yang digunakan untuk mencari ππ . 1 ππ = π(2π + π − 1 π) 2 10 π10 = (2(2) + 10 − 1 3) 2 = 5 (4+27) = 155 Contoh Soal 2 Diketahui suku ke -3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17.jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah... π3 = 8 π6 = 17 Langkah awal mencari nilai a dan b ππ =π + π − 1 π π3 =π + 2π = 8 … … … 1 π6 =π + 5π = 17 … … … 2 Selanjutnya cara yang digunakan untuk mencari nilai a dan b dengan metode eliminasi-subsitusi Eliminasi pers(1) dan pers(2) π + 2π = 8 π + 5π = 17 −3π = −9 π=3 Cek pengerjaan dengan menggunakan π ππ = (π + ππ ) 2 Langkah awal mencari nilai ππ ππ =π + π − 1 π π10 =2 + 10 − 1 3 =2+ 9 3 = 2 + 27 = 29 π ππ = (π + ππ ) 2 10 π10 = (2 + 29) 2 = 5 31 = 155 Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut π10 = 155 Substitusi nilai b = 3 ke dalam pers(1) atau (2) π + 2π = 8 π + 2(3) = 8 π+6=8 π=2 Selanjutnya mencari ππ 1 ππ = π(2π + π − 1 π) 2 π8 = 8 (2(2) + 8 − 1 3) 2 = 4 4 + 21 = 100 Contoh Soal 2 seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. jika permen yang diperoleh anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ... Deret aritmatika: Langkah awal menentukan persamaannya. π=5 π2 = 11 π4 = 19 ππ =π + π − 1 π π2 = π + π = 11 … … … 1 π4 = π + 3π = 19 … … … (2) Cara yang digunaka untuk mencari nilai a dan b dengan metode eliminasi Untuk mencari nilai b : Cek Pengerjaan Apakah ada cara lain dalam mencari Sn? Ada, yaitu dengan menggunakan ππ : π2(π + ππ ) Karena ada cara lain maka tuliskan di buku tulismu penyelesaiannya. Kemudian cek kerjamu, apakah hasilnya sama, walaupun rumus yang digunakan berbeda Jadi jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah π8 = 100 Untuk mencari nilai b : Eliminasi pers(1) dan pers(2) a+b=11 a+3b=19 – -2b= -8 b=4 Untuk mencari nilai a : Eliminasi pers(1) dan pers(2) π + π = 11 π + 3π = 19 – x3 x3 3π + 3π = 33 π + 3π = 19 – 2π = 14 π=7 Selanjutnya mencari ππ ππ = 1 π 2π + π − 1 π 2 Selanjutnya mencari ππ π5 = 5 2 7 + 5−1 4 2 π5 = 5 (14 + 16) 2 5 π5 = (30) 2 π5 = 75 ππ’πβ Cek Pengerjaan Apakah ada cara lain dalam mencari Sn? Ada, yaitu dengan menggunakan ππ = π2(π + ππ ) Karena ada cara lain maka tuliskan di buku tulismu penyelesaiannya. Kemudian cek kerjamu, apakah hasilnya sama, walaupun rumus yang digunakan berbeda Jadi jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah π5 = 75 buah RANGKUMAN Barisan AritmatikaSuatu barisan bilangan U1, U2, U3, …Un-1, Un disebut barisan aritmatika jika berlaku b = U2 – U1 = U3 – U2 …= Un-Un-1 Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1)b 2. Deret Aritmatika Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah ππ = 12π (2π + π − 1 π) Atau ππ = 12π (π + ππ) Dan untuk mencari Un dengan menggunakan rumus Sn adalah Un = Sn – Sn-1 Keterangan a : suku pertama b : beda atau selisih Un : suku ke-n Sn : jumlah n suku pertama dari suatu barisan NAH, SEKARANG KAMU SUDAH MEMPELAJARI BARISAN DAN DERET ARITMATIKA, SEKARANG KELUARKAN KERTAS LEMBAR KALIAN KERJAKAN SOAL LATIHAN BERIKUT. SEBELUM MENGERJAKAN SOAL LATIHAN. PERHATIKAN HAL BERIKUT. 1. KERJAKAN SECARA SISTEMATIKA 2. KERJAKAN SESUAI DENGAN MATERI YANG DIPELAJARI. 3. KERJAKAN SECARA TELITI 4. TERAPKAN PELAJARAN YANG TELAH KALIAN PELAJARI
