soal OSN - Directory UMM

NAMA : ARNUM SAPUTRI
09320021
SOAL BARIS ARITMATIKA DAN BARIS GEOMETRI
1. Diketahui suatu barisan Un = 2.3 + 3.4 + 4.5 + 56 +....+ (n+1) + (n+2) sehingga beberapa unsur
pertamanya sebagai berikut U(1)= 6 , U(2) = 18, U(3) = 38, U(4) = 68, U(5) = 110, tentukan nilai
dari U(100) ?
𝑏
2. Empat suku pertama barisan aritmatika adalah a, x, b, 2x. Carilah nilai dari 𝑎
3. Sebuah bariswan aritmatika mempunyai suku ke-5 = 23 dan suku ke-14 = 50. Carilah suku ke30.
4. Tentukan n agar barisan (n+1), n, (n-3) membentuk barisan geometri.
5. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 26 dan hasil
kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.
6. Dalam suatu deret geometri diberikan :
U1 + U3 + U5 = 100
U2 + U4 + U6 = 200
Tentukan : a. Rasio
b. U2
7. Diantara 2 dan 162 disisipkan 3 buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri.
Tentukan :
a. Rasio barisan geometri
b. Suku ke-n barisan geometri baru.
8. Diketahui y, 3y – 7, dan 26 adalah tiga suku berurutan yang membentuk barisan aritmatika.
Tentukan nilai y !
9. Tentukan suku kee-200 dari barisan 5, 8, 11, 14,...
10. Syifa suka memotong-motong kertas. Mula-mula ia memotong selembar kertas menjadi 10
potong, kemudian selembar dari 10 potong tersebut dipotong lagi menjadi 10 potong.
Kegiatan tersebut terus dilakukan sehingga jumlah potongan seluruhnya menjadi 352.
Tentukan berapa kali ia menggunting, jika untuk memotong kertas menjadi 10 porong
dilakukan 3 kali pengguntingan.
PEMBAHASAN
1.
𝑈(100) = ∑100
𝑖=1 (𝑖 + 1 ) (𝑖 + 𝑧 )
2
= ∑100
𝑖=1 (𝑖 + 3𝑖 + 𝑧)
100
100
2
= ∑100
𝑖=1 𝑖 + 3 ∑𝑖=1 𝑖 + ∑𝑖=1 2
100 (100+1)(2 .100+1)
6
+
3.100 (100+1)
+
2
2 .100 = 353.700
2. Berdasarkan sifat barisan aritmatika, diperoleh :
2x = a + b
dan
4x = 2a + 2b → 4x = 2a + 3x
2b = 3x → b =
3𝑥
2
a=
𝑏
Jadi, 𝑎 =
3𝑥
2
𝑥
2
2
.𝑥 = 3
3. Diketahui : U5 = 23 , U14 = 50
Ditanya : U30 ?
Jawab :
liBerdasarkan rumus Un = a +(n-1)b , jadi
U5 = a + (5-1) b =23 ....... (i)
U14 = a +(14-1) b = 50 ....... (ii)
Eleminasi persamaan i dan ii :
a + 4b = 23
a + 13b = 50 -9b = - 27
b=3
b = 3, maka subsitusi ke persamaan i : a + 4 (3) =23
a + 12 = 23
a = 11 , b = 3 maka U30 = 11 + 29 (3) = 11 + 87 = 98
4. Dengan menggunakan prinsip suku tengah diperoleh :
n2 = ( n+1 ) ( n-3 )
n2 = n2 – 2n – 3
2n = -3
3
n = -2
𝑎
5. Barisan geometri : 𝑟 , 𝑎, 𝑎𝑟
Hasil kali
:
𝑎
.
𝑟
𝑎 . 𝑎𝑟 = 216
a3 = 63
∴ 𝑎=6
6
𝑟
Barisan geometri yang terjadi : , 6, 6𝑟
6
Hasil Jumlah : 𝑟 + 6 + 6𝑟 = 26
6
𝑟
+ 6𝑟 = 20
1
(𝑟 + 𝑟) =
20
6
=
10
3
1
𝑟
+ 𝑟=
1
3
+ 3 𝑎𝑡𝑎𝑢
1
𝑟
+ 𝑟 =3+
1
3
1
3
∴ 𝑟 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 =
Penentuan barisan geometri :
(i)
Untuk a = 6 dan r = 3, diperoleh 2, 6, 18 (barisan naik)
1
(ii)
Untuk a = 6 dan r = 3, diperoleh 18, 6, 2 (barisan turun)
6. a. Rasio = r, ditentukan oleh :
U1 + U3 + U5 = 100 → U1 (1 + r2 + r4 ) = 100 ............. (i)
U2 + U4 + U5 = 200 → U2 (1 + r2 + r4 ) = 200 ..............(ii)
Dengan membandingkan persamaan (i) dan (ii) maka :
U1 (1 + r2 + r4 )
U2 (1 + r2 + r4
Karena
b. 𝑈2 =
𝑈2
𝑈1
200
=
)
200
100
𝑈2
𝑈1
=2
=2
= 𝑟 maka r =2
1+𝑟 2 + 𝑟 4
=
200
1+22 + 24
=
200
1+4+ 16
=
200
21
=9
11
21
7. Diketahui U1 = 2 dan U5 =162
a. 𝑟 =
1
1
𝑈 4
(𝑈5 )
1
162 4
( 2 )
=
1
= (81)4
𝑟=3
b. Suku ke-n : 𝑈𝑛 = 𝑈1 . 𝑟 𝑛−1 = 2 . 3𝑛−1
8. Jika U1, U2, U3 barisan aritmatika maka:
U2 – U1
= U3 – U2
2U2
= U1 + U3
2 (3y – 7)
= y + 26
6y – 14
= y + 26
5y
= 40
y
=8
∴ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 = 8
9. Barisan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan U1 = a = 5, dan beda (b) = 3.
Maka :
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
= 5 + (n – 1)b
= 3n + 2
Jadi, suku ke 200 barisan tersebut adalah U200 = 3 (200) + 2 = 6021
10. Jumlah potongan kertas setelah :
Potongan ke-1= 10 potong
Potongan ke-2=9+(1→10)=19 potong
Potongan ke-3=18+(1→10)=28 potong, dan seterusnya
Jumlah potongan kertas sampai n kali memotong membentuk barisan aritmatika, yaitu
Un=9n+1.
Diketahui Un=352→9n+1=352
9n =351→n=39kali memotong
Karena setiap 1 kali potong = 3 kali gunting,
maka 39 kali memotong diperlukan 39X3 (kali gunting)=117 kali gunting
jadi, Syifa menggunting sebanyak 117 kali.