bab 5 barisan dan deret bilangan

BAB 5
BARISAN DAN DERET BILANGAN
A. Pola Bilangan
Pola bilangan dapat di artikan sebagai susunan bilangan yang memiliki keteraturan.
Bentuk-bentuk pola bilangan:
1. Pola Bilangan Ganjil
BIlangan-bilangan 1 , 3 , 5 , dan 7 merupakan bilangan- bilngan ganjil. Dengan ,demikian
pola bilangan ganjil dapat kamu tulisakan 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , …..
Berdasarkan tabel tersebut , kamu dapat mencari urutan ke-n dari suatu bilangan dari
suatu pola bilngan ganjil , yaitu 2n-1 dengan bilngan asli .
Contoh :
1. Tentukan jumlah dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
Jawab:
Jadi n = 10
1 + 3 + 5 +7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = n ²= 10 ²= 100
2. Hitunglah jumlah dari 15 bilngan ganjil yang pertama
Jawab:
15² = 225
2. Pola Bilngan Genap
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12……
Urutan bilangan ke - n dari suatu pola bilangan genap adalah 2n dengan n bilngan asli .
2 + 4 + 6 + 8 +….. = n (n + 1 ) dengan n bilngan asli .
Contoh :
1. Hitunglah 10 + 12 + 14 +…. + 100 . n=50
Jawab:
2 + 4 +6 + 8 +10 + 12 + 14 +….. +100,karena 100 merupakan suku ke-50 dari suku genap.
Karena 2 + 4 + 6 + 8 adalah 4 suku pertama maka,
2 + 4 + 6 + 8 = 4 (4 + 1)
= 20
Sehingga [ 10 + 12 + 14 + … + 100 ]= [ 2 + 4 + 6 + 10 + … + 100 ] - [ 2 + 4 + 6 + 8 ]
= 50 ( 50 + 1 ) – 4 ( 4 + 1)
= 2.550 - 20
= 2.530
2. Tentukan jumlah Sembilan bilangan genap kedua
Jawab:
2 + 4 + ….. + 18 + 20 + …. + 36
Jumlah 9 bilangan genap kedua = 18 bilangan genap pertama -9 bilangan genap pertama
= 18 ( 18 + 1 ) – 9 (9 + 1 )
= 18 (19 )- 9(10 )
= 342 – 90
= 252
3. Pola bilangan Segitiga , Persegi, dan Persegi Panjang
a. Pola bilangan Segitiga
Urutan ke – n dari suatu bilangan segitiga adalah 𝒏 (
𝒏+𝟏
𝟐
), dengan n bilangan asli .
Contoh:
1. Tentukan bilangan ke-6 pada pola bilangan segitiga
Jawab:
Bilangan ke-6 dari suatu bilangan segitiga bermakna n=6, yaitu :
𝑛+1
)
2
=𝑛(
= 6(
6+1
6 .7
)=
2
2
= 21
b. Pola Bilangan Persegi
Urutan ke – n dari suatu pola bilangan persegi adalah n² dengan n bilangan asli .
Contoh:
1. Tulislah pola bilangan persegi hingga suku ke- 9
Jawab:
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 .
2. Tentukan urutan ke - 25 dari suatu pola bilangan persegi
Jawab:
n² = 25 ² = 625
c. Pola Bilangan Persegi Panjang
Urutan ke-n dari suatu bilangan persegi panjang adalah n (n + 1 ) dengan n bilangan
asli .
Contoh :
1. Tentukan Pola bilangan persegi panjang hingga suku ke-9 .
Jawab :
2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 .
2. Tentukan urutan ke-25 dari pola bilangan persegi panjang
Jawab :
n (n + 1 ) = 2 5 (25 + 1 ) =25 . 26 = 650
d. Pola Bilangan segitiga pascal
Pola bilangan segitiga pascal :
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Jumlah bilangan baris ke-n pada pola biangan segitiga pascal adalah 2n – 1 , dengan
bilangan asli .
Contoh :
1. Tentukan jumlah bilangan – bilangan segitiga pascal pada baris ke-3,
Jawab :
Pola bilangan segitiga pascal adalah 2𝑛 – 1 = 2³ - 1 = 2² = 4
2. Tentukan hasil dari ( x + y ) ³ , kemudian tentukanlah pula koefisien suku ke – 2
dan suku ke – 3 .
Jawab :
( x + y )³ = x+-3 x ²y + 3 x y² +y
Pada pemfaktoran tersebut terlihat bahwa koefisien suku ke – 2 adalah 3 dan
koefisien suku ke – 3 adalah 3 .
B. Barisan Bilangan
1. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika ( sering juga disebut barisan hitung ) adalah suatu barisan yang di peroleh
dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku sebelumnya dengan suku bilangan
tetap . Bilangan tetap tersebut dinamakn pembeda dan dinotasikan b . Pembeda suatu
Ubarisan aritmatika dapat kamu tentukan dengan cara mencari selisih dua suku yang
berurutan .
Pada barisan aritmatika𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 ,,,,,, 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 berlaku b = 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈4 − 𝑈3 = ,,,,, = 𝑈𝑛−
𝑈𝑛−1 , dengan b adalah pembeda dan bilangan asli.
Dengan demikaian , rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan aritmatika:
𝑼𝒏= 𝒂 +
Dengan
𝑈𝑛 =suku ke- n , n bilangan asli
a = suku pertama (𝑈1 )
b = pembeda
(𝒏−𝟏 )𝒃
Barisan aritmatika ada yang nilainya semakin lama semakin besar ( barisan aritmatika naik ),
tetapi ada pula barisan aritmatika yang nilainya semakin lama semakin kecil ( barisan
aritmatika turun ). Barisan 3 , 6 , 9 , 12 , ….. merupakan barisan aritmatika naik . Adapun
barisan 12 , 9 , 6 , 3 , …. merupakan barisan aritmatika turun . Pembeda pada barisan
aritmatika naik akan bernilai positif . Adapun pembeda pada barisan aritmatika turun akan
bernilai negative .
Contoh :
1. Tentukan suku ke – 21 dari barisan aritmatika 3 , 7 , 11 , 15 , …..
Jawab :
Diketahui a = 3 , 𝑈2 = 7
b =𝑈2− 𝑈1 = 7 – 3 = 4
sehingga , 𝑈2 1 = a + (21 – 1 ) b
= a + 20 b
= 3 + 20 (4 )
= 3 + 80
= 83
2. Jika suku ke-10 pada suatu baris aritmatika adalah 29 dengan pembeda barisan
aritmatika tersebut adalah 3 . Tentukan suku pertama (𝑈1 )
Jawab :
Diketahui 𝑈10=29 , b = 3
Maka 𝑈𝑛 = a + ( n – 1 ) b
Dengan n = 10
Sehingga 𝑈10 = a + ( 9 ) b
𝑈10 = a +( 9 ) 3
𝑈10 = a +27
a =𝑈10 – 27
a = 29 – 27
a =2
2. Barisan Geometri
Barisan geometri ( sering disebut juga barisan ukur ) adalah suatu barisan yang diperoleh
dengan cara mengalikan suku sebelumya dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama
dengan nol . Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding ( rasio ) dan dinotasikan r .
Pada barisan geometri 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 ,…. 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 berlaku r =
𝑈2
𝑈1
𝑈
𝑈
𝑈𝑛
= 𝑈3 = 𝑈4 = … = 𝑈
2
3
𝑛−1
, r adalah
pembanding dan n bilangan asli .
Misalny , 𝑈1 = a dan pembanding r maka dapat ditulisakn barisan geometrinya sebagai
berikut .
a , ar , (ar ) r (arr ) r, ……
𝑈1 𝑈2
𝑈3
𝑈4
Sederhanakan bentuk tersebut menjadi seperti berikut .
a , a r , a r² , a r ³, ….
𝑈1 𝑈2 𝑈3
𝑈4
Dengan demikian , rumus untuk menentukan suku ke- n dari suatu barisan geometri adalah
sebagai berikut :
𝑼𝒏 =𝒂 𝒓𝒏−𝟏
𝑈𝑛 = suku ke – n , n bilangan asli
dengan
a = suku pertama ( 𝑈1 )
r = pembanding
contoh :
1. Tentukan suku ke – 6 dari barisan 2 , 6 , 18 , ….
Jawab :
𝑈𝑛
r =𝑈
𝑛−1
𝑈2
=𝑈
2−1
𝑈
6
=𝑈2 = 2 = 3
1
Dengan demikian ,
𝑈𝑛=𝑎 𝑟𝑛−1
𝑈
C.
6−1
𝑎𝑟
= 2 . 35
= 2 . 243
= 486
6=
Deret Bilangan
1. Deret Aritmatika
Deret Aritmatika merupakan jumlah suku – suku pada barisan aritmatika .
𝑆𝑛= 𝑢1+ 𝑢2+ 𝑢3+⋯.+ 𝑢𝑛
Untuk mecari nilai 𝑆𝑛 dari suatu deret aritmatika , dapat menggunakan rumus :
𝒏
 𝑺𝒏 = { 2a + (n – 1 ) b }
𝟐
𝒏
 𝑺𝒏 = {a +𝑼𝒏 }
𝟐
Dengan :
a = suku pertama (𝑈1 )
b = pembeda
𝑈𝑛 = suku ke-n , n bilangan asli.
Untuk suku tengah 𝑈1 dari deret dengan 2n + 1 suku dapat di tulis dengan rumus :


𝑼𝒕= 𝑼𝒏+𝟏
= 𝒂 + { (𝒏 + 𝟏 ) − 𝟏 }𝒃
= 𝒂 + 𝒏𝒃
𝟏
𝑼𝒕 =𝟐 ( a + 𝑼𝟐𝒏+𝟏 )
2𝑼𝒕 = 𝒂 + 𝑼𝟐𝒏+𝟏
𝑼𝟐𝒏−𝟏 =2𝑼𝒕−𝒂
Dengan demikian , jumlah suku – suku dari deret dengan banyak suku 2n +1 adalah

𝑺𝟐𝒏+𝟏 =
𝟐𝒏+𝟏
𝟐
( a + 𝑼𝟐𝒏+𝟏 )
𝟐𝒏+𝟏
=
𝟐
𝟐𝒏+𝟏
=
𝟐
{a +( 𝟐𝑼𝒕−𝒂 )
( 2𝑼 𝒕 )
= ( 2n + 1 )
Contoh :
1. Diberikan deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + …..
a. Tentukan 𝑈34 dari deret tersebut
b. Tentukan 𝑆16 dari deret tersebut
Jawab :
a. a = 3 dan b =4
sehingga
𝑈𝑛=𝑎+(𝑛−1 )𝑏
𝑈34= 𝑎 (34 − 1 )𝑏
=3 +33b
=3 +33 ( 4 )
=3 +132
=135
b. 𝑆𝑛= 𝑛 { 2𝑎 + (𝑛 − 1 )𝑏}
2
𝑆
16=
{2𝑎 + (16 − 1 )𝑏 }
16
2
= 8 {2𝑎 + 15𝑏 }
= 8 { 2 ( 3 ) + 15 (4 )}
= 8 ( 6 + 60 )
= 8 ( 66 )
= 528
2. Deret Geometri
Terdapat dua macam deret geometri naik dan derert geometri turun . ciri deret geometri naik r
> 1 dan ciri deret geometri turun adalah 0 < r < 1 .
Jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut.
𝟏−𝒓𝒏
 𝑺𝒏
=𝒂 (
 𝑺𝒏
=𝒂 ( 𝒓−𝟏
𝟏−𝒓
𝒓𝒏−𝟏
) jika 0< r < 1
) jika r > 1
Dengan a adalah suku pertama (𝑈1 ) dan r adalah pembanding .
Contoh :
1. Diketahui deret geometri 3 + 9 + 27 + …..
a. Tentukan suku ke -6 dari deret tersebut .
b. Tentukan 𝑆6 dari deret tersebut .
Jawab :
a. Dari deret tersebut ,a =3 dan
r =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
=
𝑈2 9
=
𝑈1 3
𝑛−1
𝑈𝑛
=𝑎𝑟
𝑈6
=𝑎𝑟 6−1
=𝑎𝑟 5
= 3.35
=3 .243
=3
=729
b. Oleh karenan r > 1 maka 𝑆
𝑆𝑛
𝑆6
𝑟 𝑛−1
)
𝑟−1
𝑟 6−1
= 𝑎 ( 𝑟−1 )
36−1
=3 ( 3−1 )
729−1
= 3(
)
3−1
728
=3 . 2
=𝑎 (
=1.092
𝑛 =𝑎 (
𝑟𝑛−1
)
𝑟−1